2. Синтез закона управления

2.1 Переход к векторно-матричному представлению модели объекта управления

Подставляя числовые параметры в выражение ПФ, получаем:

Структурное представление ПФ в физическом базисе представлено на рисунке 1.

Рисунок 1 – Структурное представление ОУ

Непрерывный ОУ с неопределённостями в форме ВСВ задается следующей системой уравнений

, (3)

где – вектор состояния;– матрица, определяющая динамические свойства системы (матрица состояния);– вектор начальных условий;– вектор внешних воздействий;– матрица, определяющая точки приложения внешних воздействий (матрица входа);– вектор регулируемых переменных;- матрица, определяющая связь переменных вектора состояния с регулируемыми переменными.

Спишем матрицы системы с размеченной структурной схемы:

;;

Представим интервальную матрицу в аддитивной форме:

_где

2.2 Модель экзогенного воздействия

Согласно варианту задания, входное воздействие – стохастическое стационарное в широком смысле воздействие типа "экспоненциально коррелированный" шум, задающееся как

где – эффективная полоса пропускания ФФ,– белый шум.

Рисунок 2 – Структурное представление ФФ

Модель ФФ непрерывного сигнала можно задать при помощи уравнений:

(4)

где ­­– белый шум.

2.3 Эталонная модель

2.3.1 Полиномиальная динамическая модельная модель

При использовании для проектирования регулятора метода модального управления требуется задать модальную модель желаемого процесса, соответствующего некоторым показателям качества. Согласно условию (1), таковым показателем для синтезируемой системы является – требуемое значение относительной дисперсии выхода системы.

Зададим полиномиальную динамическую модальную модель (ПДММ) в виде:

(5)

где ,– матрица состояния, сопровождающая стандартный бином Ньютона

(6)

– характеристическая частота,– матрица входа такая, что пара- полностью наблюдаема. Для определения характеристической частоты, обеспечивающей требуемое значение относительной дисперсии выхода ПДММ, воспользуемся аппаратом аналитического представления дисперсии из [2]

2.3.2 Нахождение характеристической частоты

Для случая, когда ПДММ возбуждается экспоненциально коррелированным шумом с дисперсией, аналитическое выражение относительной дисперсии выхода, параметризованной относительной характеристической частотой, имеет вид:

Приравняем её требуемой относительной дисперсии выхода:

Выбирая из двух возможных корней положительный, получаем . Абсолютное значение характеристической частоты.

2.3.1 Матрицы эталонной модели

Подставляя полученное значение характеристической частоты в (6), получаем итоговый вид характеристического полинома ПДММ:

Запишем матрицы ПДММ (5) в сопровождающем базисе:

2.5 Формирование закона управления

Синтезируем теперь закон управления ОУ в форме прямой связи по внешнему воздействию и обратной связи по состоянию

.

Положим Для вычисления матрицы обратных связейKвоспользуемся матричными соотношениями:

где – матрица неособого подобия, которую можно вычислить с помощью оператора Matlab’аsylv:

Тогда матрица обратных связей принимает вид: а медианное значение матрицы состояния замкнутой системы:

.

Матрица прямой связи по задающему воздействию вычисляется в силу выражения:

.

Таким образом, синтезированный закон управления принимает вид:

2.5 Замкнутая система

Подстановка этого закона в векторно-матричное описание ОУ дает

(7)

гдеИнтервальный матричный компонент матрицы состояния ЗС: