- •Высшая математика Программа, методические указания и задания
- •Часть I
- •Редакционно-издательским Советом тгсха в качестве
- •Содержание:
- •Содержание программы.
- •Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- •II. Введение в математический анализ.
- •III. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.
- •IV. Исследование функций с помощью производных
- •V. Неопределенный интеграл.
- •VI. Определенный интеграл.
- •VII. Функции нескольких переменных.
- •Кратные интегралы.
- •IX. Криволинейные и поверхностные интегралы.
- •Методика самостоятельной работы студента при изучении математики.
- •Тема 1. Решение систем линейных уравнений.
- •Системы двух уравнений 1-ой степени с двумя переменными. Определители 2-го порядка.
- •Вычисление определителей 3-го порядка. Правило треугольников.
- •Разложение определителя по элементам 1-ой строки.
- •Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.
- •Решение
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 2. Элементы аналитической геометрии на плоскости.
- •Основные формулы аналитической геометрии.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 3. Основы векторной алгебры.
- •3.1 Операции над векторами.
- •Векторное произведение
- •Смешанное произведение.
- •3. 2 Примеры решения задач.
- •3. 3 Вопросы для самопроверки.
- •Тема 4. Введение в анализ.
- •Понятие предела.
- •4.2 Способы раскрытия неопределённостей вида и .
- •Первый и второй замечательные пределы.
- •Непрерывность функции. Точки разрыва.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 5. Производная и дифференциал функции одного аргумента.
- •5. 1 Определение производной, дифференциала.
- •Основные правила дифференцирования.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 6. Приложения производной к исследованию поведения функции и построению графика и к другим задачам.
- •План исследования функции и построения графика.
- •Использование производной в задачах прикладного характера.
- •План действий при решении задач прикладного характера.
- •Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 1.
- •Тема 7. Неопределённый интеграл.
- •Определение неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.
- •Свойства дифференциалов.
- •Способы интегрирования.
- •7. 3 Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 8. Определённый интеграл по отрезку.
- •Свойства определённого интеграла по a;b.
- •Правила вычисления определённого интеграла по a;b
- •Несобственные интегралы.
- •Приложения определённого интеграла по a;b
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 9. Функции нескольких переменных.
- •Определение функции 2-х аргументов. Область определения функции.
- •Производные и дифференциалы функции 2-х аргументов. Основные формулы.
- •Примеры решения задач.
- •Вопросы для самопроверки.
- •Тема 10. Криволинейный интеграл.
- •Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.
- •9. Площадь фигуры, ограниченной простым замкнутым контуром с, находится по формуле:
- •10.2. Примеры решения задач.
- •10.3 Вопросы для самопроверки.
- •Контрольная работа № 2
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 1
- •Значение функции
- •Продолжение табл. 2
Вопросы для самопроверки.
Сформулируйте определения функции двух, трёх переменных. Каков геометрический смысл функции двух независимых переменных?
Что называется областью существования (определения) функции двух переменных?
Что называется пределом функции двух независимых переменных?
Сформулируйте определение непрерывности функции двух переменных в точке и в области.
Что называется частным приращением функции двух переменных? Полным приращением функции двух (нескольких) переменных?
Дайте определение частной производной функции двух (нескольких) переменных. Укажите геометрический смысл частных производных функции двух переменных.
Что называется частным дифференциалом функции двух переменных и каков его геометрический смысл?
Что называется полным дифференциалом функции двух (нескольких) переменных? Каков геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных?
Сформулируйте правило дифференцирования сложной функции.
Что называется полной производной и как она находится?
В чём смысл инвариантности полного дифференциала функции двух (нескольких) переменных?
Сформулируйте правило дифференцирования неявной функции одной независимой переменной; двух независимых переменных.
Что называется частной производной второго порядка?
Сформулируйте теорему о равенстве смешанных частных производных второго порядка.
Сформулируйте теорему о независимости частной производной высшего порядка от последовательности дифференцирования.
Дайте определение максимума (минимума) функции двух переменных.
Сформулируйте необходимые условия экстремума функции двух переменных. Укажите геометрический смысл необходимого признака экстремума функции двух переменных.
Какие точки называются критическими и как они находятся?
Сформулируйте достаточные условия экстремума функции двух независимых переменных.
Укажите способ отыскания наибольшего и наименьшего значения функции двух переменных в заданной замкнутой области.
Дайте определение производной в данном направлении.
Что называется градиентом функции двух переменных? Трёх переменных?
Напишите уравнение касательной плоскости и уравнения нормали к поверхности в данной точке.
В чём сущность подбора эмпирических формул по способу наименьших квадратов?
Тема 10. Криволинейный интеграл.
Пискунов, гл. XV, § 1-2, упр. 1-5
Данко, гл. II, § 1-4
Криволинейные интегралы по длине дуги и по координатам. Основные формулы.
Определение криволинейного интеграла по длине дуги (1-го рода).
где h=AB, имеющая уравнение y= (x)
dh-дифференциал дуги AB или h.
Вычисление криволинейного интеграла по длине дуги (1-го рода).
где имеющая уравнение y=(x),
/(x)- производная y.
Определение криволинейного интеграла по координатам (2-го рода).
Криволинейный интеграл по координатам (II-го рода) есть работа, совершаемая переменной силой
на криволинейном пути AB (механическое толкование).
4.
5.
( A C B )
Криволинейный интеграл II-го рода (по координатам) вычисляется по формуле:
где представлена уравнением y= (x), a,b-отрезок изменения x дуги AB.
7.
т.е криволинейный интеграл по любому замкнутому контуру равен нулю.
8. не зависит от контура интегрирования между т. А и т. В, если выполняется тождественное равенство:
Этот факт используется в качестве наивыгоднейшего пути интегрирования (следует выбрать ломаную, соединяющую точки А и В , звенья которой параллельны осям (OX) и (OY).
Подынтегральное выражение при указанных условиях является полным дифференциалом некоторой однозначной функции т.е а уравнение называется дифференциальным уравнением в полных дифференциалах.