Тема 7. Неопределённый интеграл.

Пискунов, гл X, § 1-14, упр. 1-214.

Данко, гл IX, § 1-5.

1. Определение неопределённого интеграла. Непосредственное интегрирование.

Определение 1. Функция F ( x ) называется первообразной для функции f ( x ),

если F´ ( x )=f ( x ) и dF ( x )= f ( x )dx.

Если функция f ( x ) имеет первообразную F ( x ), то она имеет бесчисленное множество первообразных вида F ( x )+С, где C- постоянная.

Определение 2. Неопределённым интегралом от функции f (x) или от выражения

f (x)dx называется совокупность всех её первообразных.

Обозначение:

Знак - знак интеграла

f (x)- подынтегральная функция

f (x)dx- подынтегральное выражение

x- переменная величина ( аргумент функции )

F (x)- первообразная

F(x)+С –совокупность первообразных.

Отыскание неопределённого интеграла называется интегрированием функции.

Таблица неопределённых интегралов.

1.

2.

3.

4. 5.

6. 7.

8.

9.

10.

11. 12.

13. 14.

15. .

Свойства дифференциалов.

1. , с-const

2. Например :

Под непосредственным интегрированием понимается сведение подынтегрального выражения к табличному виду путём использования тождественных преобразований, таблицы и свойств неопределённых интегралов и дифференциалов.

Например: Найти

Решение: Возведём двучлен во вторую степень и запишем каждое слагаемое в виде степени, затем, произведя почленное деление и, применив соответствующие формулы таблицы, получим:

2. Способы интегрирования.

1. Подведение под знак дифференциала:

2. Интегрирование по частям:

Классы функций, интегрируемых по частям:

a).

б).

в).

или илиU= cosx

3. Разложение правильной рациональной дроби на простейшие:

₄

. Интегралы вида

-универсальная подстановка;

_{Для частных случаев:}

_{а) формулы понижения порядка:}

_{б) Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму:}

_{5. Интегралы вида и}

_{Подстановка}

_{В частности:}

_{для применяется формула}

_{для -формула}

6. _{Интегрирование иррациональностей.}

_{а) подстановка}

б) _{подстановка}

_{в) Тригонометрические подстановки:}

Например:

1) _{решается способом интегрирования по частям.}

_{2) решается способом подведения функции под знак дифференциала.}

_{3) - решается методом подстановки x =sin t .}

Примеры 1-3 решить самостоятельно.