2. 2. Методические указания по выполнению контрольных заданий

Методические указания к задаче 1

Пример

По 10 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о себестоимости молока и средней продуктивности молока (табл. 6).

Таблица 2

Себестоимость молока, руб./л	7,5	6,0	5,2	8,3	5,8	6,9	7,8	7,0	5,9	8,0
Средняя продук-тивность молока, кг	197	168	135	259	151	186	233	213	147	234

Требуется:

1. Рассчитать параметры уравнения парной линейной регрессии зависимости себестоимости молока от средней продуктивности.

2. Оценить качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации.

3. Найти средний (обобщающий) коэффициент эластичности.

4. Оценить тесноту связи с помощью показателей корреляции и детерминации.

5. Оценить значимость коэффициента корреляции через t-критерий Стьюдента при α = 0,05.

6. Оценить статистическую надежность результатов регрессионного анализа с помощью F-критерия Фишера при α = 0,05.

7. Рассчитать прогнозное значение результата, если прогнозное значение фактора увеличится на 10 % от его среднего уровня.

Решение

1. Уравнение парной линейной регрессии имеет вид:

ŷ_х = а + bх,

где ŷ_х – себестоимость молока, руб./л;

х – средняя продуктивность молока, кг;

а, b – параметры уравнения.

Для определения параметров уравнения а и b составим систему нормальных уравнений. Исходное уравнение последовательно умножим на коэффициенты при неизвестных а и b, и затем каждое уравнение просуммируем:

,

где n – число единиц совокупности.

Для расчетов построим вспомогательную таблицу (табл. 7).

Таблица 7

Сельскохозяйственное предприятие	Себестоимость молока, руб./л	Средняя продуктивность молока, кг	у2	х2	ху	ŷх	у- ŷх
	у	х
1	7,5	197	56,25	38809	1477,5	6,96	0,54	7,2
2	6,0	168	36,00	28224	1008,0	6,25	-0,25	4,1
3	5,2	135	27,04	18225	702,0	5,44	-0,24	4,6
4	8,3	259	68,89	67081	2149,7	8,48	-0,18	2,1
5	5,8	151	33,64	22801	875,8	5,83	-0,03	0,5
6	6,9	186	47,61	34596	1283,4	6,69	0,21	3,1
7	7,8	233	60,84	54289	1817,4	7,84	-0,04	0,5
8	7,0	213	49,00	45369	1491,0	7,35	-0,35	5,0
9	5,9	147	34,81	21609	867,3	5,73	0,17	2,9
10	8,0	234	64,00	54756	1872,0	7,86	0,14	1,7
Сум-ма	68,4	1923	478,09	385759	13544,1	×	×	31,7

Подставим полученные данные в систему уравнений:

Разделим каждый член уравнений на коэффициенты при а (в первом уравнении на 10, во втором на 1925):

Вычтем из второго уравнения первое и найдем параметр b:

0,203 = 8,3b; b = 0,0245.

Подставив значение b в первое уравнение, найдем значение а:

а = 6,84 – 192,3 · 0,0245 = 2,13.

Параметры уравнения регрессии можно определить и по другим формулам, которые вытекают из системы нормальных уравнений:

Уравнение регрессии имеет вид:

ŷ_х = 2,13 + 0,0245х.

Коэффициент регрессии b = 0,0245 показывает, что при росте средней продуктивности молока на 1 кг себестоимость молока в среднем по данной совокупности хозяйств увеличивается на 2,45 копейки за литр.

2. Оценим качество уравнения с помощью средней ошибки аппроксимации по формуле:

где – ошибка аппроксимации.

Подставляя в уравнение регрессии х, определим теоретические (расчетные) значения ŷ_х (табл. 7). Найдем величину средней ошибки аппроксимации . Для этого заполним две последние графы табл. 7. Отсюда:

.

В среднем расчетные значения себестоимости молока отклоняются от фактических на 3,17%. Качество уравнения регрессии можно оценить как высокое, так как средняя ошибка аппроксимации меньше допустимого предела (8-10%).

3. Рассчитаем средний коэффициент эластичности по формуле:

где и– средние значения признаков.

Отсюда:

;

;

.

Коэффициент эластичности показывает, что в среднем при росте средней продуктивности молока на 1% себестоимость молока повышается на 0,69 %.

4. Для определения тесноты связи между исследуемыми признаками рассчитаем коэффициент корреляции. Для парной линейной зависимости формула имеет вид:

,

где – средняя сумма произведения признаков;

и – средние квадратические отклонения по х и у.

Данные для расчета коэффициента корреляции представлены в табл. 7 и в пункте 3 решения. Отсюда:

;

;

;

.

Коэффициент корреляции свидетельствует, что связь между признаками очень тесная и прямая. Коэффициент детерминациипоказывает, что 93,5 %изменений в уровне себестоимости объясняется различной продуктивностью молока.

5. Для проверки статистической значимости (существенности) линейного коэффициента парной корреляции рассчитаем t-критерий Стьюдента по формуле:

Вычисленное t_факт сравним с табличным (критическим) значением t_табл при принятом уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы ν = n – 2 = 10 – 2 = 8. Табличное значение по таблице распределения Стьюдента равно 2,306.

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции и существенности связи между себестоимостью и продуктивностью молока.

6. Оценим значимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи с помощью F-критерия Фишера. Для этого сравним его фактическое значение F_факт с табличным F_табл.

Фактическое значение F_факт определяется по формуле:

,

В нашем случае:

Табличное значение F_факт по таблице значений F-критерия Фишера при α = 0,05, k₁ = m = 1 и k₂ = n – m – 1 = 10 – 1 – 1 = 8 равно 5,32 (m – число параметров при переменной х).

Фактическое значение критерия больше табличного, что свидетельствует о статистической значимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи , то есть они статистически надежны и сформировались под неслучайным воздействием фактора х.

7. Полученные оценки уравнения регрессии позволяют использовать его для прогноза. Рассчитаем прогнозное значение себестоимости молока при среднем росте продуктивности молока на 10 %.

Прогнозное значение средней продуктивности молока:

Прогнозное значение себестоимости молока:

ŷ_р = 2,13 + 0,0245·211,53 = 7,31 руб./л.

Методические указания к задаче 2

Пример

По 30 сельскохозяйственным предприятиям имеются данные о средних значениях и вариации урожайности зерновых, количестве внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми, а также о значениях коэффициентов парной корреляции между этими признаками (табл. 8).

Таблица 8

Показатель	Признак	Среднее значение	Среднее квадратическое отклонение (σ)	Линейные коэффициенты парной корреляции
Урожайность зерновых, ц/га	у	19,5	8,4	=0,405 =0,33, =0,115
Внесено органических удобрений, ц/га	х1	25,0	3,2
Насыщенность севооборота зерновыми, %	х2	71	13,0

Требуется:

1. Построить уравнение множественной линейной регрессии зависимости урожайности зерновых от количества внесенных удобрений и насыщенности севооборота зерновыми.

2. Определить линейный коэффициент множественной корреляции.

3. Рассчитать общий F-критерий Фишера при уровне значимости α = 0,05.