fizika_dlja_flehshki_zaochniki / Final_4
.pdf
Розв’язання
Діелектричну проникність середовища, яке заповнює конденсатор, можна визначити з формули електроємності плоского конденсатора
C = εεd0S ,
ε = |
Cd |
. |
(1) |
|
|||
|
ε0S |
|
|
Електроємність C конденсатора знайдемо з формули Томсона, яка визначає період коливань в електричному контурі:
|
T = 2π |
LC , |
|
|
||||
|
C = |
T 2 |
|
|
||||
|
|
|
. |
|
|
(2) |
||
|
|
|
|
|||||
|
|
|
4π2 L |
|
|
|||
Щоб |
знайти період коливань, |
скористаємось |
співвідношенням |
|||||
λ = cT , яке зв’язує довжину хвилі λ, |
на якій резонує контур, з періодом |
|||||||
коливань T контуру. (Тут c – швидкість світла). |
|
|
||||||
|
|
T = |
λ . |
|
(3) |
|||
|
|
|
|
c |
C у формулу (1), |
|||
Підставивши (3) в (2), а потім електроємність |
||||||||
отримаємо |
|
|
λ2d |
|
|
|||
|
|
|
|
|
||||
|
ε = |
|
. |
|
(4) |
|||
|
4π2c2ε0 LS |
|
||||||
Виконавши обчислення, знаходимо ε = 7 . |
|
|
||||||
Задача 12. В середовищі з діелектричною проникністю |
ε =100 і |
|||||||
магнітною |
μ =1 розповсюджується електромагнітна |
хвиля з |
частотою |
|||||
ν = 3 Ггц. Знайти вектор Пойнтінга і його середнє значення за період у тій точці, де електричний вектор змінюється за законом E = Em cos (ωt +α)eGz .
Амплітуда вектора H має вигляд Hmex . Амплітуда електричного поля
Em = 20 В/м.
Розв’язання
Оскільки коливання електричного і магнітного векторів в електромагнітній хвилі відбуваються з однаковою фазою, то рівняння
плоскої хвилі для вектора H має вигляд
H = Hm cos (ωt +α)eGx . |
(1) |
135 |
|
У фіксованій точці простору вектори E і H змінюються за гармонічним законом і утворюють з напрямком розповсюдження хвилі
правогвинтову систему. У нашому випадку вектор E коливається уздовж осі z , а вектор HG - уздовж осі x . Хвиля розповсюджується уздовж осі y . Отже, і вектор Пойнтінга теж спрямований уздовж осі y .
Амплітуди електричного і магнітного векторів пов’язані співвідношенням
Em ε0ε = Hm μ0μ , |
(2) |
де ε0 і μ0 – електрична і магнітна сталі відповідно. З виразу (2) випливає
Оскільки μ =1 , а |
μ0 |
|
ε0 |
H |
m |
= |
ε0ε |
E |
m |
. |
(3) |
|
μ0μ |
||||||||
|
|
|
|
|
= ρ = 377 Ом, то вираз (3) приймає вигляд
H |
m |
= E |
|
ε |
. |
(4) |
|
|
|||||
|
|
m ρ |
|
|||
Підставимо вирази для векторів |
|
E і |
H у формулу, |
яка визначає |
||||||||||||||
вектор Пойнтінга ( S = |
|
|
G |
). З урахуванням співвідношення (4) маємо |
||||||||||||||
EH |
||||||||||||||||||
G |
G G |
|
= E |
|
cos (ωt +α)eG |
|
H |
|
cos (ωt +α)eG = |
|
||||||||
S = EH |
m |
|
m |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
|
|
|
|
x |
|
|
||
|
|
|
|
|
(ωt +α)[eG |
eG ]= |
E2 |
|
ε cos2 (ωt +α)[eG |
eG ] |
(5) |
|||||||
= E |
H |
m |
cos2 |
|
m |
|
|
|
z |
x |
. |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
m |
|
|
|
|
|
|
|
z |
x |
|
|
|
|
|
ρ |
|
|
|
Оскільки [eGzeGx ]= eGy , то вираз (5) приймає вигляд |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
G |
ε |
|
|
|
|
|
G |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
S = |
|
E |
2 cos2 |
(ωt +α)e |
y |
. |
|
(6) |
||||
|
|
|
|
|
|
ρ |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
|
||
Приймаючи до уваги, що ω = 2πν , і підставивши числові значення у |
||||||||||||||||||
(6), маємо |
|
|
|
|
SG =10,6 cos2 (18,84 109 t +α)eGy . |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
(7) |
||||||||||||
Знайдемо середнє значення модуля вектора Пойнтінга за період. Оскільки середнє значення функції cos2 (ωt +α) за період дорівнює 0,5, то
SG = 5,3 Вт/м2.
136
4.3 Задачі для самостійного розв’язання
4.1 Коловим витком радіуса I = 2А. Знайти магнітну індукцію відстані b =150 мм від його центра.
R =150 мм циркулює струм силою B : а) у центрі витка, б) на осі витка на
Відповідь: а) B = 5,3 10−6 Тл; б) B = 2,97 10−6 Тл.
4.2 Знайти магнітну індукцію B поля, що утворюється двома протилежно спрямованими струмами силою I = 5 А кожний, які протікають по прямолінійним дротам, що знаходяться на відстані r =10 см один від одного, у точці посередині між цими дротами.
Відповідь: B = 4 10−5 Тл.
4.3 Двома нескінченно довгими взаємно перпендикулярними проводами протікають струми силою I =20 А кожний. Відстань між проводами дорівнює r = 10 см. Визначити магнітну індукцію B поля у точці, що знаходиться посередині між проводами, Напрямки струмів наведені на рис. 4.6.
I1
I2 |
|
Рисунок 4.6 |
|
Відповідь: B = 113 мкТл. |
|
4.4 Два паралельних нескінченно довгих проводи, якими протікають |
|
в одному напрямку струми силою I = 20 А, розташовані |
на відстані |
d = 10 см один від одного. Визначити магнітну індукцію B |
в точці, що |
рівновіддалена від кожного із струмів і знаходиться на відстаніl = 20 см від прямої, що з’єднує ці два струми.
Відповідь: B = 37 мкТл.
4.5 По двох паралельних нескінченно довгих проводах, що розташовані на відстані 10 см один від одного, протікають однакові
137
струми в одному напрямку. Магнітна індукція у точці, яка знаходиться від одного проводу на відстані 5 см, а від другого – на відстані 12 см, дорівнює 286 мкТл. Визначити силу струму у проводах.
Відповідь: I = 60 А.
4.6 По замкненому колу, яке включає в собі прямолінійну ділянку довжиною 40 см, протікає струм силою 10 А. До середини цієї ділянки проведений перпендикуляр. У деякій точці P , що знаходиться на цьому перпендикулярі, магнітна індукція B дорівнює 17,7 мкТл. Знайти відстань d цієї точки від прямолінійної ділянки кола.
Відповідь: d = 10 см.
4.7Дротом, який зігнутий у вигляді шестикутника, вписаного у коло радіусом R =10 см, протікає струм силою I =10 А. Знайти магнітну індукцію B у центрі шестикутника.
Відповідь: B = 69 мкТл.
4.8Знайти силу струму, що циркулює у контурі у вигляді рівнобічної трапеції, відношення основ якої дорівнює 2. Магнітна індукція у точці А
дорівнює 8,9 мкТл. Відстань цієї точки b = 50 мм (рис. 4.7), менша основа трапеції l =100 мм.
A
|
|
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
I |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 4.7 |
|
||
Відповідь: I = 6,28 А. |
|
||||
4.9 Дріт, |
зігнутий у формі квадрата, вписаний у коло |
радіусом |
|||
R = 20 см. По |
ньому протікає струм силою I =10 А. Знайти |
магнітну |
|||
індукцію B у центрі квадрата. |
|
||||
Відповідь: B = 40 мкТл. |
|
||||
4.10 Дротом, який зігнутий у вигляді правильного трикутника, вписаного у коло радіусом R =10 см, протікає струм силою I = 20 А. Знайти магнітну індукцію B у центрі трикутника.
Відповідь: B =207 мкТл.
138
4.11 Два нескінченно довгих прямих паралельних проводи знаходяться на відстані d = 20 см один від одного. По цим проводам протікають струми з силою I1 = 40 А і I2 = 60 А в одному напрямку.
Обчислити магнітну індукцію B у точці, яка рівновіддалена на однакову відстань r =10 см від обох проводів.
Відповідь: B =174 мкТл.
4.12 По тонкому металевому кільцю протікає струм силою I = 80 А. Магнітна індукція у точці, рівновіддаленій від усіх точок кільця на
відстань r =20 см, дорівнює B = 6,28 10−5 Тл. Знайти радіус кільця. Відповідь: R =10 см.
4.13 По тонкому металевому кільцю радіусом R =20 см протікає струм I =160 А. Знайти магнітну індукцію B у точці, що знаходиться на осі, перпендикулярній площині кільця і проведеній у його центр, на відстані l =20 см.
Відповідь: B = 500 мкТл.
4.14Квадратну рамку площею S =10 см2 розташували в однорідному магнітному полі так, що нормаль до площини рамки складає
знапрямком магнітного поля кут 30D . Магнітна індукція поля B =0,2 Тл. Сила струму, який протікає по рамці, дорівнює 0,5 А. Визначити
обертальний момент, який діє на цю рамку. Відповідь: M = 50 мкН м .
4.15Довгий провід зі струмом силою I = 50 А вигнутий під деяким кутом α так, як показано на рис. 4.8. Магнітна індукція у точці A , що
знаходиться на відстані d = 5 см, дорівнює B =34,6 мкТл. Визначити кут
α .
Аα
I
d
Рисунок 4.8
Відповідь: α =120D .
139
4.16 Нескінченно довгий провід вигнутий так, як показано на рис. 4.9. Магнітна індукція поля, що утворюється в точці O струмом силою I = 80 А, який протікає по цьому проводу, дорівнює B =331 мкТл. Визначити радіус R дуги кола.
I
O
R
Рисунок 4.9
Відповідь: R =10 см.
4.17 По тонкому дротяному кільцю протікає струм. Магнітна індукція в точці, що знаходиться на осі, перпендикулярній до площини кільця, на відстані d =10 см від його центра, дорівнює B =11,2 мкТл. Визначити силу струму, якщо радіус кільця R =5 см.
Відповідь: I =10 А.
4.18 По провіднику у вигляді тонкого кільця радіусом R = 20 см протікає струм. Чому дорівнює сила струму I , якщо магнітна індукція в точці A дорівнює 0,5 мкТл. Кут β = 30° . Вісь OA перпендикулярна до
площини кільця (див. рис. 4.10).
A
β
R
O
Рисунок 4.10
Відповідь: I =127 А.
140
4.19 Визначити індукцію магнітного поля в точці O , якщо радіус дуги R =10 м., кут α = 60°, сила струму, який протікає по контуру АВС, дорівнює 20 А (див. рис. 4.11).
B I
A
C
α
O
Рисунок 4.11
Відповідь: B =13,6 мкТл.
4.20Струм протікає по нескінченно довгому проводу. Відрізок цього проводу довжиною l = 20 см. створює у точці, яка рівновіддалена від кінців відрізка і знаходиться на відстані R = 4 см. від його середини, магнітну індукцію B = 46,4 мкТл. Знайти силу струму I .
Відповідь: I =10 А.
4.21Сила взаємодії двох однакових плоских контурів у формі квадратів, якими проходять однакові струми, дорівнює 192 мН. Відстань між відповідними сторонами контурів 1 мм. Сторона квадрата дорівнює 30 см. Визначити силу струму.
Відповідь: I =20 А.
4.22Довгий прямий провідник і квадратна рамка з дроту розміщені в одній площині так, що дві її сторони паралельні провіднику. По рамці і провіднику проходять однакові струми. Найближча до провідника сторона рамки знаходиться на відстані, яка дорівнює її довжині. Сила взаємодії між рамкою і провідником дорівнює 0,4 Н. Знайти силу струмів.
Відповідь: I = 2000 А.
4.23Двома паралельними провідниками довжиною 1,2 м кожний проходять струми однакової сили I = 4,6 А. Відстань між провідниками дорівнює 1 см. Знайти силу взаємодії струмів між собою.
Відповідь: F = 0,5 мН.
4.24Два тонкі дротяні кільця радіусом 20 см. кожний знаходяться у паралельних площинах, відстань між якими дорівнює 2 мм. Кільцями
141
проходять однакові струми. Сила взаємодії цих кілець дорівнює 28,2 мН. Знайти силу струмів у кільцях.
Відповідь: I = 15 А.
4.25 Дротяне кільце радіусом 3,19 см. розміщене в однорідному магнітному полі, індукція якого дорівнює 0,1 Тл. Площина кільця складає кут 45° з напрямком магнітного поля. По кільцю протікає стум. В результаті взаємодії магнітного поля з кільцем на останній діє обертальний
момент 4,5 10−4 Н·м. Знайти силу струму у кільці. Відповідь: I = 2А.
4.26 Дротяний квадратний контур розміщений у магнітному однорідному полі, індукція якого 0,1 Тл. Площина контуру складає деякий кут α з напрямком магнітного поля. По контуру протікає струм силою 2А. Знайти цей кут, якщо довжина сторони квадрата 5 см., а обертальний
момент сил, що діє на контур, дорівнює 3,53 10−4 Н·м. Відповідь: α = 45° .
4.27 Двома довгими паралельними провідниками протікають струми в одному напрямку I1 = 5 А і I2 =10 А. Провідники, які спочатку
знаходяться на відстані d1 =15 см, розсовують до відстані d2 = 30 см. Яка робота (на одиницю довжини провідника) при цьому виконується?
Відповідь: A / l = 6,98 10−7 Дж/м.
4.28 Сила, що діє на провід зі струмом I =70 А, який розташований перпендикулярно силовим лініям однорідного магнітного поля, дорівнює 4,9 Н. Визначити довжину l цього проводу, якщо індукція магнітного поля B = 0,1 Тл.
Відповідь: l =70 см.
4.29 У скільки разів потрібно збільшити відстань між двома прямолінійними паралельними провідниками, якими течуть струми одного напрямку і однієї величини I1 = I2 = 20 А, щоб здійснена при цьому
робота (на одиницю довжини провідника) складала A / l = 5,5 10−5 Дж/м ? Відповідь: вдвічі.
4.30 Визначити силу струму I , який проходить двома паралельними прямими провідниками довжиною 3 м кожний, якщо сила їх взаємодії
142
дорівнює 64 Н. Струми в провідниках однакові за величиною, а відстань між провідниками 15 см.
Відповідь: I1 = I2 = 4 кА..
4.31 Напруженість H магнітного |
поля |
в центрі колового |
витка |
дорівнює 100 A/м. Магнітний момент |
pm |
витка дорівнює |
1 А·м2. |
Обчислити силу струму у витку. |
|
|
|
Відповідь: I = 23,4 A. |
|
|
|
4.32 Магнітний момент pm колового витка дорівнює 1 А·м2. Сила
струму у витку 37 А. Знайти напруженість H магнітного поля в центрі витка.
Відповідь: H =200 A/м.
4.33Обчислити радіус колового витка, яким протікає струм, якщо
напруженість H магнітного поля в центрі витка дорівнює 150 A/м, а магнітний момент складає 0,75 А·м2.
Відповідь: R = 9,25 см.
4.34Радіус колового витка, яким протікає струм, складає 10 см. Напруженість магнітного поля H в центрі цього витка дорівнює 100 А/м. Знайти магнітний момент витка.
Відповідь: pm = 0,628 А·м2.
4.35 Сила струму в коловому витку дорівнює 40 А. Напруженість H магнітного поля в центрі цього витка складає 100 А/м. Знайти магнітний момент pm витка.
Відповідь: pm = 5,02 А·м2.
4.36 По кільцю протікає струм. Магнітна індукція на осі кільця на
відстані d = 80 см від його площини |
B = 20 нТл. Вважаючи, що радіус |
|||||
кільця R << d , визначити магнітний момент кільця зі струмом. |
|
|||||
Відповідь: p |
|
= 51,2 мА·м2 |
|
|
|
|
m |
|
|
|
|
|
|
4.37 Магнітний момент |
кільця |
зі струмом p |
= 50 мА·м2. |
На осі |
||
|
|
|
d від |
m |
|
|
кільця на деякій |
|
відстані |
його площини |
магнітна |
індукція |
|
B =10 нТл. Визначити цю відстань за умови, що радіус кільця R набагато |
||||||
менший відстані d . |
|
|
|
|
|
|
Відповідь: d |
= 1 м. |
|
|
|
|
|
|
|
|
143 |
|
|
|
4.38 Знайти магнітний момент тонкого кільця радіусом R = 5 см, на якому рівномірно розподілений заряд q = 100 нКл, відносно осі, що
збігається з одним із діаметрів кільця, якщо кільце рівномірно обертається з частотою n =10 c−1 .
Відповідь: pm = 3,92 нА·м2
4.39 По |
тонкому |
стрижню |
довжиною |
l =10 см |
рівномірно |
розподілений |
заряд q . Стрижень |
обертається |
з кутовою |
швидкістю |
|
ω =10 рад/с |
відносно |
осі, перпендикулярної |
стрижню і |
такою, що |
|
проходить через його середину. Магнітний момент, обумовлений обертанням зарядженого стрижня, дорівнює pm = 5 нА·м2. Визначити
величину заряду q . Відповідь: q = 120 мкКл.
4.40Тонке кільце радіусом 10 см рівномірно обертається відносно осі, яка проходить через його центр перпендикулярно площині кільця. По кільцю рівномірно розподілений заряд 5 нКл. Знайти частоту обертання
кільця, якщо магнітний момент колового струму, що створюється кільцем, дорівнює 3,14 нА·м2.
Відповідь: n = 20 с-1.
4.41Напруга на кінцях обмотки соленоїда довжиною 60 см дорівнює 120 В. Магнітна індукція В усередині соленоїда складає 2 мТл. Знайти опір R обмотки соленоїда, якщо він вміщує 1000 витків.
Відповідь: R = 125,6 Ом.
4.42Соленоїд вміщує 500 витків. Напруга на кінцях обмотки соленоїда 120 В, а її опір – 120 Ом. Обчислити довжину соленоїда, якщо магнітна індукція поля усередині нього дорівнює 3,14 мТл.
Відповідь: l = 20 см.
4.43 Магнітна індукція поля у точці, розташованій на відстані 15 см від прямого нескінченно довгого провідника, дорівняє 30 мкТл. Визначити силу струму в цьомуG провіднику, використовуючи теорему про
циркуляцію вектора B . Відповідь: I = 22,5 А.
144