Physics_BMI-12 / Методичні вказівки до ПЗ з фізики. Частина 1

8 МОЛЕКУЛЯРНО-КІНЕТИЧНА ТЕОРІЯ ІДЕАЛЬНОГО ГАЗУ. ЗАКОНИ РОЗПОДІЛУ МОЛЕКУЛ ЗА ШВИДКОСТЯМИ ТА ЕНЕРГІЯМИ.

Мета заняття – засвоїти основні закони молекулярно-кінетичної теорії газів та навчитися їх застосовувати при розв’язуванні задач.

8.1 Вказівки до організації самостійної роботи студентів

Вивчаючи основні положення молекулярно-кінетичної теорії ідеального газу [1, § 93-100], з’ясуйте фізичну суть таких величин, як середня кінетична енергія поступального руху молекул, функція розподілу молекул, барометрична формула.

8.2Контрольні запитання

1.Основне рівняння молекулярно-кінетичної теорії ідеальних

газів.

2.Чому дорівнює середня кінетична енергія поступального руху молекул ідеального газу? Як ця величина залежить від числа ступенів свободи?

3.Як визначити середню повну кінетичну енергію молекул ідеального газу?

4.Функція розподілу молекул газу за модулями їх швидкостей. Фізичний зміст функції розподілу. Умова нормування функції розподілу.

5.Як визначити середню, середньоквадратичну та найбільш ймовірну швидкості молекул ідеального газу?

6.Як знайти середнє значення фізичної величини, якщо відома функція розподілу?

7.Барометрична формула. Її фізичний зміст.

8.Функція розподілу Больцмана для частинок в зовнішньому потенціальному полі.

8.3 Приклади розв’язання задач

Задача 1. Деяка маса газу міститься в посудині, що рухається зі швидкістю u. На скільки збільшиться середній квадрат швидкості

71

теплового руху молекул, якщо посудина раптово зупиниться? Відповідь дайте для одноатомного та двоатомного газів. Теплоємністю, теплопровідністю та масою стінок можна знехтувати.

Дані: u; i1=3; i2=5;

де m0 – маса молекули.

Середню кінетичну енергію молекул можна визначити, якщо знайдемо суму кінетичних енергій молекул і поділимо на їх число:

де < E0' >= N1 ∑m02υi2 = 2i kT1 .

< E0′ > – середня кінетична енергія теплового руху молекул.

Якщо посудина зупиняється, то молекули по інерції деякий час зберігають попередній напрямок швидкості, але внаслідок зіткнень однієї з одною та з стінками посудини газ прийде в стан рівноваги, для якого швидкості молекул стануть рівноймовірними в усіх напрямках. При цьому встановиться певний розподіл молекул за швидкостями, а середня кінетична енергія молекул стане рівною <E2>

< E2 >= 2i kT2 =< E0′′> .

72

Внаслідок зупинки посудини кінетична енергія напрямленого руху молекул повністю переходить в енергію теплового руху, таким чином, змінюється середня кінетична енергія молекул

<E>=<E2>-<E1>,

а також температура газу та середній квадрат швидкості молекул, який дорівнює

< υ2 >= 3kT . m0

Середня кінетична енергія теплового руху молекули

< E0 >= 2i kT ,

тому < υ2 >= 6 < E0 > . im0

До зупинки посудини з газом середній квадрат швидкості

Задача 2. Температура окису азоту (NO) T=300 K. Визначити частку молекул, швидкості яких лежать в інтервалі від υ1 = 820 м/с до

υ2 = 830 м/с. Газ знаходиться під атмосферним тиском.

Дані: T=300 K, υ 1=820 м/с, υ 2=830 м/с;

Найти: N/N-?

Аналіз та розв’язання

При нормальних умовах (атмосферному тиску та кімнатній температурі) окис азоту є ідеальним газом, молекули якого описуються законом розподілу Максвелла. Тоді число молекул,

73

Максвелла за модулем швидкості. Вираз (41) справедливий, якщо інтервал швидкостей такий малий, що функцію Максвелла в цьому інтервалі можна вважати сталою. За умовою задачі треба знайти частку молекул, швидкості яких змінюються від υ1 до υ2 . Для цього

треба інтегрувати вираз (41) в указаному інтервалі швидкостей:

Але розрахунок по формулі (42) складний, тому що інтеграл в явному вигляді не можна знайти і потрібно використовувати методи

Визначимо похибку, якої ми допускаємо, замінивши точне співвідношення (42) наближеним (43). Знайдемо значення функції Максвелла на кінцях інтервалу:

F(υ 1,T) = 4,03 10-4 c/м; F(υ 2,T) = 3,75 10-4 c/м.

Тоді відносна похибка при заміні функції її значення на одному з кінців інтервалу дорівнює:

ε = [1-F(υ 2,T)/F(υ 1,T)] 100%≈7%

Таким чином, з похибкою ε=7% знаходимо із формули (43) частку молекул, швидкості яких лежать в інтервалі

υ =υ 2-υ 1=10 м/с

N/N=4,03 10-4 c/м 10 м/с=4 10-3.

Задача 3. В посудині об’ємом V=30л знаходиться кисень масою

m=100г під тиском p=3 105 Па. Знайти найбільш ймовірне значення кінетичної енергії молекул кисню.

Дані: V=3 10-2 м3; m=0,1 кг; p=3 105 Па; μ=32 10-3 кг/моль;

74

Найти: Eкім −?

Аналіз та розв’язання

Найбільш ймовірне значення кінетичної енергії молекул відповідає максимуму функції розподілу молекул за кінетичними енергіями. Виходячи з функції розподілу Максвелла за модулями швидкості, одержимо функцію розподілу молекул за кінетичними енергіями:

Найбільш ймовірна кінетична енергія відповідає максимуму функції (44). Визначивши похідну функції, прирівняємо її до нуля:

Звідси знаходимо Eкім = kT / 2 .

Температуру знаходимо із рівняння Менделєєва-Клапейрона

Тоді найбільш імовірна кінетична енергія

Eкім = pV2mRμk = 2,4 10−21 Дж.

Відзначимо, що найбільш імовірна кінетична енергія в п’ять разів менша від середньої кінетичної енергії поступального руху двоатомних молекул кисню < E >=5kT / 2 .

Задача 4. Знайти середню потенціальну енергію молекул повітря в полі тяжіння Землі. На якій висоті від поверхні Землі потенціальна енергія молекули дорівнює їх середній потенціальній енергії?

Температуру повітря вважати сталою і рівною 0 °С.

75

Дані: T = 273 K; μ = 29 10-3 кг/моль; k = 1,38 10-23 Дж/К; R=

8,31 Дж/моль К.

Аналіз та розв’язання

Повітря в полі тяжіння Землі (якщо повітря знаходиться при сталій температурі) можна описати розподілом Больцмана

де U = mgh - потенціальна енергія молекули; A – стала величина. Якщо відома функція розподілу Больцмана (45), то можемо

знайти середнє значення потенціальної енергії < U >:

Зробимо заміну змінної при інтегруванні x=- U /kT, тоді d U =-

kTdx

∞∞

∫ exp( −U / kT )dU = −kT ∫ exdx = kT ;

< U > = kT = 1,38 10-23 273 = 3,8 10-21 Дж.

Визначимо висоту, на якій середня потенціальна енергія дорівнює потенціальній енергії молекули

< U >= kT, U = mgh; kT = mgh;

h = mgkT = RTμg = 8 103 м.

8.4 Задачі для самостійної роботи

Задача 1. Посудину заповнено аргоном, температура якого дорівнює 0 °С. Посудина спочатку рухається із швидкістю υ=100 м/с, а потім раптово зупиняється. Нехтуючи теплообміном між газом і стінками посудини, визначити температуру газу після зупинки.

76

Відповідь: t2=16°.

Задача 2. Знайти середню квадратичну швидкість, середню кінетичну енергію поступального руху і середню повну кінетичну енергію молекул гелію і азоту при температурі T=300 K. Визначити повну кінетичну енергію усіх молекул, що знаходяться в 100 г кожного з газів.

Відповідь: п = 5,00 1025 м-3 .

Задача 4. Деякий газ знаходиться в стані рівноваги. Яка частка молекул газу має швидкості, що відрізняються від найбільш ймовірної

Задача 6. Яка ймовірність того, що дана молекула ідеального газу має швидкість, що відрізняється від половини найбільш імовірної

Задача 9. При якій температурі повітря середні швидкості молекул азоту (N2) і кисню (O2) відрізняються на 20 м/с?

77

Відповідь: T = 563 К .

Задача 10. Молекули ідеального газу, у якого γ=1,4 і тиск p=100кПа мають середню енергію <ε>=2,5 10-20 Дж. Знайти число молекул в одиниці об’єму.

Відповідь: n=1 1025 м-3.

Задача 11. Визначити найбільш імовірну, середню та середньоквадратичну швидкість молекул газу, у якого при

нормальному атмосферному тиску густина дорівнює ρ=1 г/л.

Відповідь: υ ім=0,45 км/с, <υ >=0,51 км/с, υ кв=0,55 км/с.

Задача 12. Суміш водню і гелію знаходиться при температурі Т=300 К. При якому значенні швидкості υ молекул значення функції Максвелла F(υ ) будуть однаковими для обох газів?

Відповідь: υ =1,62 км/с.

Задача 13. Знайти температуру азоту (в газоподібному стані), при якій швидкості молекул υ 1=300 м/с і υ 2=600 м/с відповідають однакові функції розподілу Максвелла F(υ ).

Відповідь: Т=300 К.

Задача 14. На якій висоті h над поверхнею Землі атмосферний тиск вдвоє менший, ніж на поверхні? Вважати, що температура повітря дорівнює Т=290 К і не змінюється з висотою?

Відповідь: h=5,88 км.

Задача 15. Барометр в кабіні вертольоту показує тиск р=90 кПа. На якій висоті летить вертоліт, якщо на поверхні Землі барометр показував р0=100 кПа? Вважати температуру Т=290 К незмінною.

Відповідь: h=885 м.

Задача 16. Знаючи функцію розподілу Максвелла за швидкостями F(υ ), знайти формулу для найбільш ймовірної швидкості υ ім.

Відповідь: υ ім= 2kT / πm

Задача 17. Знаючи функцію розподілу Максвелла F(υ ), одержати формулу для середньої арифметичної швидкості < υ > .

Відповідь: < υ > = 8kT / πm

Задача 18. Знаючи функцію розподілу Максвелла F(υ ), одержати формулу для середньоквадратичної швидкості.

Відповідь: < υкв > = 3kT / m

Задача 19. Визначити частку молекул, енергія яких лежить в інтервалі від ε1 = 0 до ε2=0,01kT.

78

Відповідь: N / N = 7.53 10−4 .

Задача 20. Знайти вираз для імпульсу молекул ідеального газу, енергії яких дорівнюють найбільш імовірному значенню енергії.

значення функції Максвелла F( υ) для температури Т0 буде таким же, як для температури в η разів більшої.

Відповідь: υ = ( 3kT0 / m )ηln η/( η−1) .

Задача 22. Азот знаходиться в високій посудині в однорідному полі тяжіння при температурі Т. Температуру збільшили в η разів. На якій висоті h концентрація молекул залишилась попередньою?

Відповідь: h=(RT/μg)η lnη/(η-1).

Задача 23. Знайти силу, що діє на частинку, яка знаходиться в однорідному полі сили тяжіння, якщо відношення n1/n2 концентрацій частинок на двох рівнях, відстань між якими ΔΖ=1 м, дорівнює е. Температуру Т вважати сталою Т=300 К.

Відповідь: F=4,14 10-21 Н.

Задача 24. Одержати формулу, яка визначає частку молекул ω,

енергія ε0 яких набагато менша за kT. Функцію розподілу за енергіями вважати відомою.

Задача 25. Визначити, яка з двох середніх величин <1/ υ > чи 1/ < υ > більша, та знайти її відношення.

9 ЗАКОНИ ТЕРМОДИНАМІКИ

Мета заняття – оволодіти елементарним розрахунком термодинамічних процесів, з’ясувати суть першого і другого законів термодинаміки.

79

9.1 Вказівки щодо організації самостійної роботи студентів

При вивченні теоретичного матеріалу особливу увагу звернути на основні поняття термодинаміки: внутрішня енергія тіла, теплоємність, мікрота макростан, статистична вага, ентропія, необоротність, коефіцієнт корисної дії теплової машини.

Необхідно розібратися в усіх формулюваннях першого та другого законів термодинаміки, бо кожна з них розкриває новий аспект в їх розумінні.

Приступаючи до розв’язання задач, треба мати на увазі, що в термодинамічні формули входить не сама внутрішня енергія, а її зміна, або ж похідна за будь-яким параметром. Зміна внутрішньої енергії може відбуватися внаслідок виконання над тілом роботи або передачі йому теплоти. Робота, що виконується зовнішніми тілами над термодинамічною системою (наприклад, газом), приймається від’ємною, а робота, яка виконується системою, - додатною.

При виконанні робочим тілом замкнутого циклу робота визначається площею, обмеженою кривою, що відображає цикл на діаграмі p, V.

Слід також пам’ятати, що всі термодинамічні співвідношення справедливі тільки для оборотних процесів.

9.2Контрольні запитання та завдання

1.Як визначається робота при зміні об’єму тіла?

2.Як формулюється перший принцип термодинаміки?

3.Як записується рівняння адіабати?

4.Як визначається робота, що виконується газом при різних процесах?

5.Як визначається коефіцієнт корисної дії теплової машини?

6.Що таке цикл Карно?

7.Що таке макрота мікростан, статистична вага, ентропія?

8.Як формулюється другий принцип термодинаміки?

9.Що таке необоротність?

9.3 Приклади розв’язання задач

Задача 1. Кисень масою m=2 кг займає об’єм V1=1 м3 і знаходиться під тиском p1=0,2 МПа. Спочатку газ був нагрітий при сталому тиску до об’єму V2=3 м3, а потім при сталому об’ємі до тиску

80