Physics_BMI-12 / Методичні вказівки до ПЗ з фізики. Частина 1

Залежність N (t) та M( t ) можна записати у вигляді

де k – одиничний вектор вздовж осі Z .

4.4 Задачі для самостійної роботи

Задача 1. Знайти момент інерції та момент імпульсу земної кулі відносно осі обертання.

Відповідь: J =1038 кг м2 , M = 7 1033 кг м2 / с.

Задача 2. Знайти момент інерції тонкої плоскої пластини із сторонами a =10 см та b = 20 см відносно осі, що проходить через центр мас пластини паралельно бічній. Маса пластини рівномірно розподілена по

з′єднано з мотором за допомогою пасу. Натяг пасу постійний і дорівнює T =14,7H . Яке число обертів в секунду буде робити маховик через

t =10c після початку руху? Маховик вважати однорідним диском. Тертям знехтувати.

Відповідь: n = 23,4c−1.

Задача 5. Махове колесо, що має момент інерції 245кг м2 , обертається з частотою ν1 = 20с−1 . Через хвилину після того, як на колесо

припинено дію обертального моменту, воно зупинилося. Знайти момент сил тертя; число обертів, яке зробило колесо до повної зупинки після того, як сила припинила дію.

Відповідь: NT = 513H м; N = 600об.

Задача 6. На барабан масою M = 6кг намотано шнур, до кінця якого прикріплено вантаж масою m = 2кг. Знайти прискорення вантажу. Барабан вважати однорідним циліндром. Тертям знехтувати.

41

Відповідь: a = 3,9м/ c2 .

Задача 7. На барабан радіусом R = 0,5м намотано шнур, до кінця якого прив’язано вантаж m =10кг . Знайти момент інерції барабана, якщо

відомо, що вантаж опускається з прискоренням a = 2,04кг м2 .

Відповідь: J = 9.5кг м2 .

Задача 8. Два тягарця різної маси з’єднані ниткою та перекинуті

через блок, момент інерції якого – J = 50кг м2 , а радіус – R = 20см. Блок обертається з тертям і момент сил тертя дорівнює NT = 98.1H м . Знайти різницю натягу ниток (T1 −T2 ) з обох боків блоку, якщо відомо , що блок

обертається з постійним кутовим прискоренням β = 2.36 рад/ c2 .

Відповідь: T1 −T2 =1.08 103 H .

Задача 9. Диск масою 2кг котиться без ковзання по горизонтальній площині із швидкістю 4м/ с . Знайти кінетичну енергію диска.

Відповідь: Ek = 24 Дж .

Задача 10. Обруч та диск мають однакові маси та котяться без ковзання з однаковою лінійною швидкістю υ. Кінетична енергія обруча

дорівнює E1 = 40 Дж. Знайти кінетичну енергію E2 диска. Відповідь: E2 = 30 Дж.

Задача 11. Обруч та циліндр, що мають однакову масу m = 2 кг ,

котяться без ковзання по горизонтальній поверхні з лінійною швидкістю υ = 5 м/ с . Знайти кінетичні енергії цих тіл.

Відповідь: E1 = 50 Дж ; E2 = 37,5 Дж .

Задача 12. Велосипедист маса якого разом з велосипедом m1 = 80 кг , їде рівномірно по дорозі з швидкістю 18 км/ год . Маса кожного колеса

Відповідь: Ek =1 103 Дж .

Задача 13. З похилої площини скочується без ковзання однорідний диск. Лінійне прискорення центра мас диска α = 3.9 м/ с2 . Сила тертя

дорівнює F =1Н . Знайти кут нахилу похилої площини до горизонту та масу диска.

Відповідь: α = 36° ; m = 0,5 кг.

42

Задача 14. На похилій площині з кутом нахилу до горизонту α стоїть циліндр радіусом R . Якою може бути найвища висота циліндра, при якій він не перекинеться, якщо циліндр виготовлений з однорідної речовини?

Відповідь: h = 2Rctg α .

Задача 15. На тонкостінний циліндр намотано тонку і невагому нитку. Вільний кінець нитки прикріплено до стелі ліфта, що рухається вниз з прискоренням a0 . Знайти прискорення циліндра відносно ліфта і

силу натягу нитки.

τ = 5 c руху. Опором повітря знехтувати.

Задача 17. Однорідна куля знвходиться на похилій площині, кут нахилу якої до горизонту дорівнює α = 30°. При яких значеннях коефіцієнта тертя ковзання μ куля буде скочуватись з похилої площини

без просковзування?

Відповідь: μ ≥ 72 tgα = 0,165 .

Задача 18. Однорідна куля радіусом r починає скочуватись без просковзування з вершини сфери радіусом R . Знайти кутову швидкість кулі ω після відриву від поверхні сфери.

Відповідь: ω = 10g(R + r) /(17r 2 ) .

Задача 19. Однорідний диск радіусом R розкрутили до кутової швидкості ω та обережно поклали на горизонтальну поверхню. Скільки часу диск буде обертатись на поверхні, якщо коефіцієнт тертя дорівнює

μ .

Відповідь: t = 34ωμRg .

43

Задача 20. На гладенькій горизонтальній поверхні лежить однорідний диск радіусом r0 . На нього обережно опустили інший такий же диск, що

обертається із кутовою швидкістю ω0 . Через який час обидва диски

будуть обертатись з однаковою кутовою швидкістю, якщо коефіцієнт тертя між дисками дорівнює μ .

Відповідь: t = 38r0μωg0 .

Задача 21. На гладенькій горизонтальній поверхні лежить дошка масою m1 , а на ній знаходиться однорідна куля масою m2 . До дошки

прикладена постійна горизонтальна сила F . З яким прискоренням будуть рухатись дошка та центр кулі при відсутності просковзування між ними?

Відповідь: a1 = F /(m1 + 2m2 / 7) ; a2 = 2a1 / 7 .

Задача 22. Горизонтальний тонкий однорідний стержень AB масою m та довжиною l може вільно обертатись навколо вертикальної осі, яка проходить через точку А. В деякий момент часу на другий кінець стержня почала діяти стала сила F , яка весь час перпендикулярна до початкового положення стержня та знаходпться в горизонтальній площині. Знайти кутову швидкість стержня як функцію його кута повороту ϕ від

початкового подоження.

циліндричний шків масою m2 = 0,5 кг і радіусом r2 = 0,5 м. Тягарець і шків відпускають. Система починає рухатись. При цьому кутове прискорення шківа - β =196 с−2 , сила натягу нитки - Fн = 2,5 Н . Знайти масу тягарця m1 .

Відповідь: m1 = 0,5 кг .

Задача 24. Якір мотора обертається з частотою ν =1500 хв−1 . Знайти обертальний момент, якщо мотор розвиває потужність P = 500 Вт.

Відповідь: N = 3,18 Н м.

Задача 25. Для того, щоб знайти потужність мотора, на його шків діаметром d = 20 см накинули пас. До одного кінця пасу приладнали

динамометр, а до другого – вантаж масою m . Знайти потужність мотора,

44

якщо він обертається з кутовою частотою ν = 24 с−1 . Маса вантажу – m =1 кг , а динамометр показує 24 Н .

Відповідь: P = 214 Вт.

5 ЗАКОНИ ЗБЕРЕЖЕННЯ В МЕХАНІЦІ

Мета заняття – познайомитись з законами збереження імпульсу, моменту імпульсу та енергії, навчитись застосовувати ці закони до розв’язування задач.

5.1 Вказівки до організацїї самостійної роботи студентів

Користуючись конспектом лекцій та підручником [I, § 24, 27-29, 4142], вивчити закони збереження. Проаналізувавши розв’язання завдань, приведених як приклад, перейти до самостійної роботи над рекомендованими завданнями.

5.2Контрольні запитання та завдання

1.Сформулюйте закон збереження імпульсу.

2.Сформулюйте закон збереження енергії в механіці.

3.Сформулюйте закон збереження моменту імпульсу.

4.Як пов’язана робота із зміною кінетичної енергії матеріальної

точки?

5.Яка взаємодія тіл називається абсолютно пружним /абсолютно непружним / ударом?

6.Які закони збереження виконуються при абсолютно пружному та абсолютно непружному ударах?

7.З якими властивостями простору та часу пов’язані закони збереження?

8.Чому дорівнює робота сили при поступальному русі матеріальної точки, при обертальному русі тіла?

5.3Приклади розв’язання задач

Задача 1. Куля масою m1 , яка рухалась горизонтально з швидкістю υ1 , зіткнулась з нерухомою кулею масою m2 . Кулі абсолютно пружні,

45

зіткненя пряме. Яку долю ω своєї кінетичної енергії перша куля передала другій?

Дані: m1 ; υ1 ; m2 ; υ2 = 0 ;

Найти: ω −?

Аналіз та розв’язання

Доля енергії, переданої першою кулею другій, -

де T1 - кінетична енергія першої кулі до удару; T2′ - кінетична енергія другої кулі після удару; υ1 - швидкість першої кулі до удару;

u2 - швидкість другої кулі після удару.

Для визначення ω треба знайти u2 . Скористаємось тим, що при

абсолютно пружному ударі виконуються закони збереження імпульсу та механічної енергії. Враховуючи , що друга куля до зіткнення була нерухомою, запишемо ці закони:

обертатися навколо нерухомої осі, яка проходить через його верхній кінець. В середину стержня потрапляє куля масою m =10 г, яка летить в

горизонтальному напрямі зі швидкістю υ0 = 500 м/ с і застряє у ньому. На який кут ϕ відхилиться стержень після удару?

Дані: l =1,5 м; M =10 кг ; m =10 г; υ0 = 500 м/ с ;

46

Найти: ϕ −?

Аналіз та розв’язання

Куля, співударяючись із стержнем, за дуже малий проміжок часу приводить його у рух із кутовою швидкістю ω і надає йому кінетичну

енергію T = J ω2 / 2 , де J – момент інерції стержня відносно осі обертання. Потім стержень повертається на кут ϕ , при цьому його центр

ϕ = 9°20' .

47

5.4 Задачі для самостійної роботи

Задача 1. Куля масою m1 = 6 кг налетіла на другу кулю m2 = 4 кг , яка знаходилась у стані спокою. Імпульс p1 першої кулі ло удару становив

m2 = 60 кг . Човен пливе з швидкістю υ1 = 2 м/ с . Людина стрибає з човна

випадки: людина стрибає вперед за рухом човна; в напрямі, протилежному напряму руху човна.

Відповідь: u1 =1 м/ с ; u2 = 3 м/ с .

Задача 3. На залізничній платформі встановлена гармата. Маса платформи з гарматою M =15 т. Гармата стріляє вгору під кутом ϕ = 60°

до горизонту в напрямку руху. З якою швидкістю υ1 рухатиметься

куска заліза знехтувати. Удар непружній. Знайти коефіцієнт корисної дії η

удару молота. Відповідь: η = 0,95 .

Задача 6. Людина стоїть на лаві Жуковського і ловить рукою м’яч

від вертикальної осі обертання лави. З якою кутовою швидкістю ω почне

48

інерції з частотою n1 = 6 хв−1 . На краю платформи стоїть людина масою m1 = 60кг . На який кут ϕ повернеться платформа, якщо людина піде вздовж краю платформи і, обійшовши її, повернеться в початкову точку на

людиною, якщо вона поверне стержень у горизонтальне положення? Сумарний момент інерції людини і лави дорівнює 6 кг м2 .

Відповідь: n2 = 0,61с−1 .

Задача 10. Знайти приріст кінетичної енергії замкнутої системи, яка складається з двох кульок з масами m1 і m2 при їх непружному зіткненні,

якщо до зіткнення швидкості кульок булиυ1 і υ2 .

Відповідь: T = − m1m2( υ1 − υ2 )2 . 2( m1 + m2 )

Задача 11. Частинка, яка рухається прямолінійно по горизонтальній поверхні, зіткнулась з нерухомою частинкою. Удар пружний. Маси

49

частинок однакові. Довести, що після зітнення, якщо воно не було лобовим, частинки розлетяться під прямим кутом одна до одної.

Задача 12. Сталева кулька масою m = 50 г падає з висоти h =1,0 м на

горизонтальну поверхню масивної плити. Знайти сумарний імпульс, який вона передає плиті внаслідок багатократних відштовхувань, якщо при кожному ударі швидкість кульки змінюється в η = 0,8 разів.

Задача 13. Дві однакові платформи 1 і 2, на кожній з яких знаходиться по одній людині, рухаються без тертя по інерції назустріч одна одній по паралельних коліях. Коли платформи порівнялись, з кожної з них на другу перестрибнула людина у напрямі, перпендикулярному рухові платформ. Внаслідок цього платформа 1 зупинилась, а платформа 2 продовжувала рухатись у тому ж напрямі так, що її швидкість стала υ .

Задача 14. Дві однакові платформи рухаються одна за одною по інерції (без тертя) з однакової швидкістю υ0 . На задній платформі

знаходиться людина масою m . У якийсь момент людина стрибнула на передню платформу з швидкістю u відносно своєї платформи. Маса кожної платформи M . Знайти швидкості, з якими будуть рухатись обидві платформи після цього.

Момент інерції його дорівнює J = 50 кг м2 . Знайти закони, за якими

змінюються момент сили N , яка діє на нього, та потужність P . Чому дорівнює потужність у момент часу t = 3с?

Відповідь: N = 2JC = 200 Н м ;

P = (3,2 − 0,8t) 103 Вт; P = 0,8 кВт .

50