Physics_BMI-12 / Методичні вказівки до ПЗ з фізики. Частина 1

Дані: E = mx2 + kx2 ; 2 2

Найти: xm - ? xm - ?

Аналіз та розв’язання

Оскільки повна енергія осцилятора не залежить від часу, похідна від повної енергії дорівнює нулю

Знайдемо швидкість осцилятора, тобто першу похідну від (30)

Задача 2. Знайти рівняння руху тіла, яке бере участь одночасно у двох однаково напрямлених коливальних рухах з однаковими

61

змінюється і вектор A також обертатиметься з кутовою швидкістю ω . Тоді результуюче коливання також буде гармонічним і чого рівняння матиме вигляд:

x = Acos(ωt +ϕ) ,

де A – амплітуда результуючого коливання, ϕ - початкова фаза. Користуючись рис. 14, одержуємо:

З рівняння (32) видно, що амплітуда результуючого коливання залежить від різниці фаз складових коливань.

Якщо ϕ2 −ϕ1 = 2πn (n = 0,1,2...) , то A = A1 + A2 .

62

Коли ϕ2 −ϕ1 = (2n +1)π , тобто складові коливання відбуваються у протилежних фазах, то амплітуда результуючого коливання A = A2 − A1 , бо за означенням амплітуда – величина додатна.

Оскільки енергія коливального руху пропорційна квадрату амплітуди, то повна енергія результуючого коливання

E = E1 + E2 + 2 E1E2 cos(ϕ2 −ϕ1) , тут E1 і E2 - відповідно енергії складових коливань. З виразу видно, що повна енергія результуючого коливання також залежить від різниці початкових фаз складових коливань.

Задача 3. Знайти траєкторію результуючого руху, якщо тіло одночасно бере участь у двох взаємно перпендикулярних гармонічних коливальних рухах, частоти яких однакові.

Дані: x = A1 cos(ω t +ϕ1) ; y = A2 cos(ω t +ϕ2 ) .

Найти: y( x ) −?

Аналіз та розв’язання

Відносно координатних осей Ox і Oy , які розташовані у

напрямках коливальних рухів, рівняння коливань матиме вигляд x = A1 cos(ωt +ϕ1) ; y = A2 cos(ω t +ϕ2 ) .

Перепишемо рівняння так:

Помножимо перше рівняння на cosϕ2 , а друге – на cosϕ1 і знайдемо їх різницю; потім помножим перше рівняння на sinϕ2 , а друге – на sin ϕ1 і також знайдемо різницю. Одержимо:

Рівняння (33) та (34) піднесемо до квадрата і почленно додамо їх. В результаті матимемо:

63

Співвідношення (35) є рівнянням траекторії результуючого руху тіла, що одночасно бере участь у двох коливаннях, напрями яких взаємно перпендикулярні.

У загальному випадку рівняння (35) є рівнянням еліпса. Орієнтація еліпса відносно осей координат і його форма визначаються значенням амплітуд A1 і A2 та величиною різниці фаз ϕ2 −ϕ1

складових коливань. Розглянемо окремі випадки. Різниця фаз дорівнює нулю, тобто ϕ2 −ϕ1 = 0 .

У цьому разі рівняння (35) набуває вигляду

Звідси маємо

y = A2 x . A1

Траєкторією результуючого руху є пряма лінія, що проходить через

Отже, траекторія результуючого руху має вигляд еліпса, пів-осі якого A1 і A2 орієнтовані вздовж координатних осей Ox і Oy .

Задача 4. Встановити закон втрати енергії з часом для затухаючих механічних коливань частинки, якщо m – маса частинки, r – коефіцієнт опору.

Дані: m, r, Найти: E(t) −?

64

Аналіз та розв’язання

Розсіювання енергіі коливальною системою при затухаючих коливаннях характеризується дією сил опору або тертя. Для механічних коливань, коли швидкість коливального руху невелика, сила опору пропорційна величині швидкості і напрямлена завжди проти руху, тобто

FТ = −rυ = −r dxdt ,

де r – коефіцієнт опору. Рівняння динаміки має вигляд

Рівняння (36) називають диференціальним рівнянням затухаючих коливань. Розглядатимеио такі затухаючі коливання, коли періодичність руху зберігається. Рівняння руху тіла при цьому матиме вигляд:

x(t) = A(t) cos(ω t +ϕ) .

Встановимо характер зміни амплітуди затухаючих коливань з часом. Втрати енергії коливального руху тілом при затухаючих коливаннях визначається роботою сил опору. За час dt втрати енергії

dE = FТdx = −rυυdt = −rυ2dt .

Перепишемо цей вираз так:

Вираз (37) можна використовувати для визначення середніх втрат енергії за час одного періоду. Середнє значення кінетичної енергії коливального руху дорівнює половині його повної енергії, тобто

Ek = 12 E , тоді співвідношення (37) можна записати як

видно, що швидкість зменшення енергії при затухаючих коливаннях пропорційна самій енергії. Перепишемо вираз (38) у вигляді

dEE = −2βdt .

65

Звідси одержимо закон втрат енергії з часом

E = E0e−2β t ,

де E0 – значення енергії у момент часу t = 0 .

Задача 5. Порівняти значення амплітуди коливань, здійсненних тілом під дією сталої сили, величина якої дорівнює амплітудному значенню F0 , при резонансі із величиною зміщення. Прийняти, що

β << ω0 .

Дані: F0 , β << ω0 .

Найти: AAрез −?

Аналіз та розв’язання

Частоту зміни змушуючої сили, при якій амплітуда вимушених коливань досягає максимального значення, називають резонансною частотою ωрез . Явище, при якому амплітуда вимушених коливань

досягає максимального значення, називають явищем резонансу. Резонансне значення амплітуди

Коли на тіло діє стала сила F0 , то ω = 0 і з (40) маємо, що

A = mFω00 .

66

Знайдемо відношення

AAрез = ω2β0 .

Звідси видно, що відносне збільшення амплітуди коливань при резонансі визначається відношенням частоти власних коливань до коефіцієнта затухання. Для систем з малим затуханням амплітуда резонансних коливань може значно перевищувати величину зміщення при дії сталої сили.

7.4 Задачі для самостійної роботи

Задача 1. Написати рівняння гармонічного коливального руху з

Задача 3. Написати рівняння гармонічного коливального руху, якщо максимальне прискорення частинки дорівнює 49,3 см/с2. Період коливання 2 с, а відхилення частинки від рівноваги при t=0 має значення 25 мм.

Задача 4. Чому дорівнює відношення кінетичної енергії частинки, яка виконує гармонічне коливання, до її потенціальної

енергії, при t1 = 12T c, t2 = T8 c, t2 = T6 c. Тут T – період коливань. Початкова фаза дорівнює нулю.

Задача 5. Частинка бере участь у двох коливаннях однакового періоду з однаковими початковими фазами. Амплітуди коливань A1= 3 см і А2 = 4 см. Знайти амплітуду результуючого коливання, якщо

67

коливання відбуваються в одному напрямі; коливання взаємно перпендикулярні.

Відповідь: A = 7 см; A = 5 см.

Задача 7. Визначити потенціальну, кінетичну та повну енергію математичного маятника в залежності від часу та кута відхилення від положення рівноваги, якщо його маса – m, довжина – l. Розглянути випадок малих амплітуд коливань ϕm<< 1. Дістати закон, який визначає залежність руху від часу. Який рух виконує система? Визначити період коливань.

Задача 8. Визначити потенціальну, кінетичну та повну енергію фізичного маятника в залежності від часу t та кута відхилення ϕ від положення рівноваги, якщо його маса - m, момент інерції відносно осі обертання – J0 , відстань від осі обертання до центра ваги -L.

Розглянути випадок малих амплітуд коливань (ϕm<< 1). Одержати закон, який визначає залежність руху від часу. Який рух виконує система? Визначити період коливань.

x = 5e−0,25t sin π2 t м. Знайти частинки, які виконують коливання в

момент часу t=0; T; 2T; 3T; і 4T.

Відповідь: υ1 = 7,85 м/с; υ2 = 2,88 м/с; υ3 = 1,06 м/с; υ4 = 0,39 м/с; υ5 = 0,14 м/с.

Задача 10. Амплітуда затухаючих коливань математичного маятника за 1 хв зменшилася у 2 рази. У скільки разів вона зменшиться за 2 хв?

Відповідь: у 4 рази.

Задача 11. За час 100 с система встигає виконати 100 коливань. За цей час амплітуда зменшується у 2,718 рази. Визначити: коефіцієнт затухання коливань β; логарифмічний декремент затухання λ,

68

добротність системи Q, відносне зменшення енергії системи - EE за період коливань.

Відповідь: β=10-2 c-1; λ=10-2; Q=314; EE =2 10-2.

Задача 12. Добротність коливальної системи Q=2, частота

вільних коливань ω=100 c-1. Знайти власну частоту коливань системи

ω0.

змушуючої сили; система виконує усталені вимушені коливання.

Задача 14. Коливальна система виконує затухаючі коливання із частотою ν=1000 Гц. Знайти частоту власних коливань ν0, якщо

резонансна частота νрез=998 Гц. Відповідь: ν0=1002 Гц

Задача 15. Пружину із жорсткістю к=10 Н/м навантажили тягарем масою m. Система знаходиться в рідині, коефіцієнт сили

опору якої дорівнює r=0,1 кг/с. Визначити: частоту ν0 власних коливань; резонансну частоту νрез; резонансну амплітуду Арез, якщо змушуюча сила змінюється за гармонічним законом, її амплітудне значення F=0,02 Н. Знайти відношення резонансної амплітуди до відхилення тягаря при дії на нього сталої сили F0.

Задача 16. Визначити фазу коливання матеріальної точки через 2с після початку коливань, якщо точка здійснює коливання з періодом

Т=0,8с.

Відповідь: ϕ = 5π рад.

Задача 17. Точка бере участь у двох взаємно перпендикулярних коливаннях x = 2cos ωt та y = −cos 2ωt . Записати рівняння траєкторії

руху точки.

Відповідь: y = −0,5x2 +1.

69

Задача 18. Середня втрата енергії матеріальною точкою при одному повному коливанні становить 2 мДж. Скільки повних коливань здійснить точка, якщо їй додатково надати 0,2 Дж енергії?

Відповідь: п=103.

Задача 19. Чому дорівнює період коливань математичного маятника, підвішеного у вагоні, що рухається горизонтально з прискоренням а?

g2 + a2

Задача 20. Однорідний диск радіусом R коливається навколо горизонтальної осі, що проходить через одну з твірних бічної поверхні. Знайти період коливань.

Відповідь: T = 2π 3R / 2g

Задача 21. Період T0 власних коливань пружинного маятника дорівнює 0.55 с. У в’язкому середовищі період T цього самого маятника становить 0.56 с. Визначити резонансну частоту коливань.

Відповідь: νрез=1,75 Гц.

Задача 22. Знайти число N повних коливань, коли енергія системи зменшилась у n=2 рази. Логарифмічний декремент затухання

λ=0,01.

Відповідь: N=35.

Задача 23. Порівняти резонансну амплітуду коливань з амплітудою зміщення системи під дією сталої сили, величина якої дорівнює амплітудному значенню F0.

Відповідь: AAрез = ω2β0 .

Задача 24. Визначити, на скільки резонансна частота відрізняється від частоти ν0=1 кГц власних коливань системи з коефіцієнтом затухання β=400 с-1.

Задача 25. На якій відстані від центра треба підвісити тонкий стержень заданої довжини l, щоб одержати фізичний маятник, що коливається з максимальною частотою. Чому дорівнює ця частота?