2. Поворот осей координат

Під поворотом осей координат розуміють таке перетворення системи координат, при якому обидві осі повертаються на той самий кут, а початок координат точка й масштаб залишаються незмінними.

Нехай нова система отримана поворотом старої системи на кут .

Позначимо координати довільної точки М площини в старій системі координат як , а в новій системі як.

Уведемо дві полярні системи координат із загальним полюсом у точці й полярних осях і . В обох системах полярний радіусr однаковий, а полярні кути відповідно рівні й, де – полярний кут у новій полярній системі координат.

Здійснюючи перехід від полярних координат до декартових координат, одержимо

Оскільки й , то

Отримані формули називаються формулами повороту осей. Вони дозволяють знаходити старі координати x і у по відомих нових і , і навпаки.

Зауваження.

Якщо нова система координат отримана зі старої шляхом паралельного переносу осей координат і наступним поворотом осей на кут, то легко одержати формули

що виражають старі координати і довільної точки через її нові координати і .

Контрольні запитання

1. Як визначається декартова система координат на площині?

2. Як визначається полярна система координат на площині?

3. За якими формулами декартові координати виражаються через полярні координати?

4. За якими формулами полярні координати виражаються через декартові координати?

5. Що розуміють під паралельним переносом осей координат?

6. За якими формулами здійснюється паралельний перенос осей координат?

7. Що розуміють під поворотом осей координат?

8. За якими формулами здійснюється поворот осей координат?

3.2 Рівняння лінії на площині

Основні поняття

Рівнянням лінії на площині називається таке рівняння із двома змінними, якому відповідають координатих та у кожної точки лінії й не задовольняють координати будь-якої точки, що не лежить на цій лінії.

Рівняння називаєтьсянеявним рівнянням лінії на площині; лінія, задана у вигляді графіка функції , називаєтьсяявно заданою.

Рівняння називається рівнянням лінії в полярній системі координат, якщо координати будь-якої точки, що лежить на цій лінії, і тільки вони, задовольняють це рівняння.

Параметричними рівняннями лінії на площині називаються рівняння

(3.3)

де й – координати довільної точки , що лежить на даній лінії, a t – змінна, яка називається параметром; параметр t визначає положення точки на площині.

Векторним рівнянням лінії на площині називається рівняння , де t – скалярний змінний параметр. Кожному значенню відповідає певний вектор площини. При зміні параметра t кінець вектора опише деяку лінію.

Змінні, які входять у рівняння лінії, називаються поточними координатами точок лінії.

Рівняння лінії дозволяє вивчення геометричних властивостей лінії замінити дослідженням його рівняння.

Щоб перейти від параметричних рівнянь лінії до рівняння виду , треба яким-небудь способом із двох рівнянь виключити параметрt. Векторному рівнянню лінії в системі координат відповідають два скалярних рівняння , тобто рівняння проекцій на осі координат векторного рівняння лінії є її параметричні рівняння.

Рівняння й рисунки деяких кривих, заданих у полярній системі координат

1. Рівняння кола радіуса R.

R

O O  2R

P P R

O P