Функції. Пошук найбільших та найменших значень функції.»

1. Теорема. (достатня умова монотонності функції)

Для того, щоб диференційована на інтервалі функція зростала (спадала) на цьому інтервалі, необхідно та достатньо, щоб її похідна була у всіх точках інтервалу невід’ємна (не додатна). Якщо похідна функції у всіх точках інтервалу додатна (від’ємна), то функція строго зростає (строго спадає).

2. Визначення 1. Точка хХ називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції ƒ: X → R, якщо існує такий окіл U(х) точки х, що для всіх х Х U(х) виконується нерівність ƒ(х) ≤ ƒ(х) ( відповідно ƒ(х) ≥ ƒ(х)). Якщо для всіх х Х U(х) та х ≠ х виконується нерівність ƒ(х) < ƒ(х) ( відповідно ƒ(х) >ƒ(х)), то точка хХ називається точкою строгого локального максимуму (мінімуму) функції ƒ.

Точки максимуму та мінімуму функції називаються її точками екстремуму. Якщо функція визначена в околі точки х та хє точкою екстремуму функції, то для всіх достатньо малих Δх = х - х, приріст функції Δу = ƒ(х) – ƒ(х) буде невід’ємний, якщо х - точка мінімуму, та не додатний, якщо х - точка максимуму. Відповідно, Δу > 0, х ≠ х, якщо х - точка строгого мінімуму, та Δу < 0, х ≠ х, якщо х - точка строгого максимуму.

Теорема. (необхідна умова екстремуму)

Нехай ƒ задана в деякому околі точки х. Якщо точка х є точкою екстремуму функції ƒ, то її похідна в цій точці чи дорівнює 0, чи не існує.

Визначення 2. Якщо функція визначена в деякому околі точки х та в цій точці похідна функції чи існує та дорівнює 0, чи не існує, то точка х називається критичною точкою цієї функції.

З теореми маємо, що всі точки екстремуму функції знаходяться в множині її критичних точок.

Теорема. (достатня умова екстремуму)

Нехай функція ƒ неперервна в деякому околі U(х) точки х, диференційована в проколотому околі Ů(х) та с кожного боку від точки х в цьому околі її похідна зберігає постійний знак. Тоді, якщо при х Ů(х)

1. ƒ′(х) > 0, то функція ƒ строго зростає на U(х);

2. ƒ′(х) < 0, то функція ƒ строго спадає на U(х);

3. ƒ′(х) > 0 при х < хта ƒ′(х) < 0 при х > х(похідна змінює знак з + на - ), то точка х є точкою строгого максимуму;

4. ƒ′(х) < 0 при х < хта ƒ′(х) > 0 при х > х(похідна змінює знак з - на + ), то точка х є точкою строгого мінімуму.

Наслідки. Для функцій неперервних в околі U(х) точки х та диференційованих в проколотому околі Ů(х), у яких похідні з кожної сторони від точки х зберігають постійний знак в розглянутому околі, точка х є точкою строгого екстремуму тоді та тільки тоді, коли в цій точці похідна змінює знак.

Визначення 3. Точка х називається точкою зростання функції ƒ, якщо існує такий окіл U(х) точки х, що належить до області визначення функції ƒ, що для всіх х Ů(х) при х < х виконується нерівність ƒ(х) < ƒ(х), а при х > х відповідно нерівність ƒ(х) >ƒ(х). Якщо ж при х < х та х > х виконується відповідно нерівності ƒ(х) >ƒ(х) та ƒ(х) < ƒ(х), то точка х називається точкою спадання функції ƒ.

Маємо: в точці зростання х функції у = ƒ(х) приріст функції Δу = ƒ(х) – ƒ(х) змінює знак з – на +, а в точці спадання, навпаки, з + на -.

Теорема. Нехай функція у = ƒ(х) n раз диференційована в точці х, n ≥ 1 та . Тоді, якщо , тобто n – парне число, то функція ƒ має в точці х строгий екстремум, а саме строгий максимум при та строгий мінімум при . Якщо ж , тобто n – непарне число, то функція ƒ не має в точці х екстремуму; в цьому випадку при точка х є точкою зростання функції ƒ, а при - її точкою спадання.

Частинні випадки теореми при n = 1 та n = 2.

1. Якщо ƒ′( х) > 0, то х є точкою зростання функції ƒ, а якщо ƒ′(х) < 0, то х - точка спадання функції.

2. Якщо ƒ′( х) = 0, а ƒ′′( х) > 0, то х є точкою строгого мінімуму, а якщо ƒ′( х) = 0, а ƒ′′( х) < 0, то х є точкою строгого максимуму.

3. Визначення 2. Функція називається неперервною на множині, якщо вона неперервна в кожній її точці.

Теорема.(Веєрштрасса) Будь – яка неперервна на відрізку функція досягає на ньому своєї верхньої та нижньої граней.

Теорема. (Больцано – Коші) Якщо функція ƒ неперервна на відрізку [a, b],

ƒ(а) = А, ƒ(b) = В, то для будь – якого числа С: A ≤ C ≤ B, існує така точка ξ [a, b], що ƒ(ξ) = С.

Наслідки. Якщо функція неперервна на відрізку та на його кінцях приймає значення різних знаків, то на цьому відрізку існує хоча б одна точка, в якій функція дорівнює 0.

Тому, для знаходження найбільшого чи найменшого значення функції на відрізку, необхідно перевірити всі умови теорем Веєрштрасса чи Больцано – Коші.

Нехай аргумент неперервної функції ƒ(х) змінюється в необмеженому інтервалі (а, +∞). Тоді, серед значень функції може не знайтися найбільшого у випадку, коли функція монотонно зростає. Аналогічно, коли неперервна функція ƒ(х) визначена в необмеженому інтервалі (-∞, а), то може не знайтися найменшого значення при умові строгого спадання функції. Якщо ж найбільше чи найменше значення у функції є на інтервалі її дослідження, то вони остаточно є серед екстремумів функції.

Нехай тепер аргумент х функції ƒ(х) змінюється в обмеженому інтервалі [а, b]. Тоді неперервна функція обов’язково прийме найбільше чи найменше своє значення чи у внутрішній точці відрізку, чи на його кінці.

Тому, схемою знаходження найбільшого чи найменшого значення функції на відрізку є:

1. Визначити, чи є функція, що досліджується неперервною на заданому проміжку;

2. Знайти похідну цієї функції, критичні точки функції, що належать даному проміжку;

3. Обчислити значення функції у всіх критичних точках даного проміжку та на його кінцях (якщо проміжок незамкнений, тобто є інтервалом чи полу інтервалом, то значення функції на його кінцях знаходимо через однобічні границі функції в цих точках);

4. Серед отриманих значень вибрати найбільше та найменше.

Приклади: 1) Знайти найбільше та найменше значення функції на відрізку [-1, 1].