ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Дослідження функції / лекция № 22

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 22

з теми: «Асимптоти функції.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.06 Дослідження функції

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Асимптоти функції.

Мета:

• Дидактична: навчитись досліджувати функцію на екстремум, знаходити проміжки монотонності, досліджувати на опуклість, знаходити асимптоти графіка функції та будувати її графік.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну логічно мислити та чітко формувати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекції з елементами проблемної та проектної технологій.

Тип: лекція № 22

Вид: лекція – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: язикові, проблемно – пошукові, індуктивні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Асимптоти функції..

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні поняття, пов’язані з диференціюванням елементарних функцій та їх застосуванням при розв’язанні прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 22.

1. Асимптоти графіку функції.

Конспект лекції № 22.

Тема: «Асимптоти функції.»

1. Визначення 1. Якщо функція ƒ задана для всіх х > а (відповідно х < а) та існує така пряма у = kх + l, що (), то ця пряма називається асимптотою функції ƒ при х→ +∞ (х→ - ∞).

Методи знаходження асимптот.

1. у = kх + l – рівняння нахиленої асимптоти. При цьому коефіцієнти k та l знаходимо так: чи . Далі чи . Отримаємо нахилену асимптоту у = kх + l функції ƒ при х→ +∞ чи х→ - ∞.

2. Горизонтальна асимптота – частинний випадок нахиленої асимптоти. Функція має горизонтальні асимптоти, якщо виконані умови: , де l – стала. Рівняння горизонтальної асимптоти має вид: у = l.

3. Визначення 4. Якщо для функції ƒ виконано хоча б одна з умов чи, то пряма х = х називається вертикальною асимптотою функції ƒ.

При вивчені поведінки функції, якщо  або поблизу точок розриву другого роду, часто трапляється так, що графік функції як завгодно близько наближається до тієї чи іншої прямої. Ці прямі називаються асимптотами.

Означення 1. Пряма  називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з односторонніх границь  або  дорівнює  або . Наприклад, пряма  є вертикальною асимптотою графіка функції  тому, що , .

Означення 2. Пряма  називається похилою асимптотою графіка  при  або , якщо  або .

Теорема 1. (Знаходження похилої асимптоти). Для того щоб пряма  була похилою асимптотою графіка функції  при необхідно і достатньо, щоб існувала скінченні границі ,  .

Доведення. Необхідність

Нехай - асимптота при , тобто . Звідки , де - нескінченно мала при .

Тоді .

Знайдемо границю останньої рівності при :

 або .

А з означення похилої асимптоти маємо  або 

Достатність. Нехай існують границі вказані в теоремі. А тоді з другої границі маємо , а тому  дійсно є похилою асимптотою графіка функції  при .

Зауваження 1. Горизонтальні асимптоти отримуємо як частинний випадок похилих, коли , а  - скінчене.

Зауваження 2. При знаходженні похилих асимптот потрібно окремо розглядати границі при  та.

Приклад. Знайти похилі асимптоти графіка функції .

Розв’язування. Нехай - похила асимптота.

Шукаємо  та  спочатку при . ;

.

Отже, - правостороння похила асимптота. Нехай тепер  .

Отже, лівосторонніх похилих асимптот немає.