ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Дослідження функції / лекция № 21

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 21

з теми: «Локальні екстремуми функції.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.06 Дослідження функції

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Локальні екстремуми функції.

Мета:

• Дидактична: навчитись досліджувати функцію на екстремум, знаходити проміжки монотонності, досліджувати на опуклість, знаходити асимптоти графіка функції та будувати її графік.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну логічно мислити та чітко формувати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекції з елементами проблемної та проектної технологій.

Тип: лекція № 21

Вид: лекція – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: язикові, проблемно – пошукові, індуктивні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

Тема лекції: Локальні екстремуми функції.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні поняття, пов’язані з диференціюванням елементарних функцій та їх застосуванням при розв’язанні прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 21.

1. Локальні екстремуми функції.

Конспект лекції № 21.

Тема: «Локальні екстремуми функції.»

1. Теорема. (достатня умова монотонності функції)

Для того, щоб диференційована на інтервалі функція зростала (спадала) на цьому інтервалі, необхідно та достатньо, щоб її похідна була у всіх точках інтервалу невід’ємна (не додатна). Якщо похідна функції у всіх точках інтервалу додатна (від’ємна), то функція строго зростає (строго спадає).

2. Визначення 1. Точка хХ називається точкою локального максимуму (мінімуму) функції ƒ: X → R, якщо існує такий окіл U(х) точки х, що для всіх х Х U(х) виконується нерівність ƒ(х) ≤ ƒ(х) ( відповідно ƒ(х) ≥ ƒ(х)). Якщо для всіх х Х U(х) та х ≠ х виконується нерівність ƒ(х) < ƒ(х) ( відповідно ƒ(х) >ƒ(х)), то точка хХ називається точкою строгого локального максимуму (мінімуму) функції ƒ.

Точки максимуму та мінімуму функції називаються її точками екстремуму. Якщо функція визначена в околі точки х та хє точкою екстремуму функції, то для всіх достатньо малих Δх = х - х, приріст функції Δу = ƒ(х) – ƒ(х) буде невід’ємний, якщо х - точка мінімуму, та не додатний, якщо х - точка максимуму. Відповідно, Δу > 0, х ≠ х, якщо х - точка строгого мінімуму, та Δу < 0, х ≠ х, якщо х - точка строгого максимуму.

Теорема. (необхідна умова екстремуму)

Нехай ƒ задана в деякому околі точки х. Якщо точка х є точкою екстремуму функції ƒ, то її похідна в цій точці чи дорівнює 0, чи не існує.

Визначення 2. Якщо функція визначена в деякому околі точки х та в цій точці похідна функції чи існує та дорівнює 0, чи не існує, то точка х називається критичною точкою цієї функції.

З теореми маємо, що всі точки екстремуму функції знаходяться в множині її критичних точок.

Теорема. (достатня умова екстремуму)

Нехай функція ƒ неперервна в деякому околі U(х) точки х, диференційована в проколотому околі Ů(х) та с кожного боку від точки х в цьому околі її похідна зберігає постійний знак. Тоді, якщо при х Ů(х)

1. ƒ′(х) > 0, то функція ƒ строго зростає на U(х);

2. ƒ′(х) < 0, то функція ƒ строго спадає на U(х);

3. ƒ′(х) > 0 при х < хта ƒ′(х) < 0 при х > х(похідна змінює знак з + на - ), то точка х є точкою строгого максимуму;

4. ƒ′(х) < 0 при х < хта ƒ′(х) > 0 при х > х(похідна змінює знак з - на + ), то точка х є точкою строгого мінімуму.

Наслідки. Для функцій неперервних в околі U(х) точки х та диференційованих в проколотому околі Ů(х), у яких похідні з кожної сторони від точки х зберігають постійний знак в розглянутому околі, точка х є точкою строгого екстремуму тоді та тільки тоді, коли в цій точці похідна змінює знак.

Визначення 3. Точка х називається точкою зростання функції ƒ, якщо існує такий окіл U(х) точки х, що належить до області визначення функції ƒ, що для всіх х Ů(х) при х < х виконується нерівність ƒ(х) < ƒ(х), а при х > х відповідно нерівність ƒ(х) >ƒ(х). Якщо ж при х < х та х > х виконується відповідно нерівності ƒ(х) >ƒ(х) та ƒ(х) < ƒ(х), то точка х називається точкою спадання функції ƒ.

Маємо: в точці зростання х функції у = ƒ(х) приріст функції Δу = ƒ(х) – ƒ(х) змінює знак з – на +, а в точці спадання, навпаки, з + на -.

Теорема. Нехай функція у = ƒ(х) n раз диференційована в точці х, n ≥ 1 та . Тоді, якщо , тобто n – парне число, то функція ƒ має в точці х строгий екстремум, а саме строгий максимум при та строгий мінімум при . Якщо ж , тобто n – непарне число, то функція ƒ не має в точці х екстремуму; в цьому випадку при точка х є точкою зростання функції ƒ, а при - її точкою спадання.

Частинні випадки теореми при n = 1 та n = 2.

1. Якщо ƒ′( х) > 0, то х є точкою зростання функції ƒ, а якщо ƒ′(х) < 0, то х - точка спадання функції.

2. Якщо ƒ′( х) = 0, а ƒ′′( х) > 0, то х є точкою строгого мінімуму, а якщо ƒ′( х) = 0, а ƒ′′( х) < 0, то х є точкою строгого максимуму.