ман для 1ПМ-11 / 2 курс 2011 / лекции / Дослідження функції / лекция № 23

Міністерство освіти і науки, молоді та спорту України

Горлівський технікум Донецького національного університету

ЛЕКЦІЯ № 23

з теми: «Випуклість, крапки перегину функції.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.03.06 Дослідження функції

Дисципліна: «Математичний аналіз»

Розглянуто та схвалено Розробив викладач

на засіданні циклової Велікодна О. В.

комісії інформаційних технологій

та прикладної математики.

протокол № 1 від 30.08.2011 р.

Голова циклової

комісії ІТ та ПМ І. П. Сошина

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Випуклість, крапки перегину функції.

Мета:

• Дидактична: навчитись досліджувати функцію на екстремум, знаходити проміжки монотонності, досліджувати на опуклість, знаходити асимптоти графіка функції та будувати її графік.

• Виховна: виховувати професійно зацікавлену особистість, здатну логічно мислити та чітко формувати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекції з елементами проблемної та проектної технологій.

Тип: лекція № 23

Вид: лекція – дослідження.

Методи та форми проведення заняття: язикові, проблемно – пошукові, індуктивні.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учебник. Для студентов университетов и вузов. В 3 т. - М.: Высшая школа,1998.

2. Кудрявцев Л.Д. Сборник задач по математическому анализу: Учебник для вузов. В 3 т. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1989.

3. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие для вузов. - М.: Наука. Гл. ред. физ. - мат. лит.,1975.

4. Марон А. И. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах. – М.: Наука, 1973.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують: елементарна математика

• Дисципліни, що забезпечуються: лінійна алгебра та аналітична геометрія, дискретна математика, диференціальні рівняння, рівняння математичної фізики, чисельні методи, методи оптимізації, теорія функцій комплексної змінної.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ.

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Випуклість, крапки перегину функції.

• Мотивація вивчення матеріалу: вивчити основні поняття, пов’язані з диференціюванням елементарних функцій та їх застосуванням при розв’язанні прикладних задач.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу. Конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

План лекції № 23.

1. Випуклість та точки перегину.

Конспект лекції № 23.

Тема: «Випуклість, крапки перегину функції.»

1. Нехай функція задана на інтервалі (а, b) та а< х<х<b. Проведемо пряму через точки А(х, ƒ(х)) та В(х, ƒ(х)) графіку функції ƒ. Рівняння цієї прямої буде: у = . Праву частина рівняння позначимо у = l(х).

Визначення 1. Функція ƒ називається випуклою доверху на інтервалі (а, b), якщо для будь – яких точок інтервалу хта х, таких, що а< х<х<b, для будь – якої точки х з інтервалу ( х, х) виконується нерівність l(х) ≤ ƒ(х). Якщо ж для будь – якої точки х з інтервалу ( х, х) виконується нерівність l(х) ≥ ƒ(х), то функція називається випуклою донизу на інтервалі (а, b).

Якщо виконуються нерівності l(х) < ƒ(х) та l(х) > ƒ(х), то функція називається строго випуклою доверху та строго випуклою донизу відповідно. Кожний інтервал, на якому функція випукла доверху чи донизу називається інтервалом випуклості функції доверху чи донизу відповідно.

Теорема.(достатня умова строгої випуклості) Якщо друга похідна функції від’ємна (додатна) у всіх точках інтервалу, то функція строго випукла доверху (донизу) на цьому інтервалі.

Теорема. Нехай функція ƒ обов’язково має у всіх точках інтервалу (а, b) додатну(від’ємну) другу похідну ƒ′′(х) > 0 (ƒ′′(х) < 0). Тоді, яка б ні була точка х(а, b), всі точки (х, ƒ(х)), х(а, b) графіку функції ƒ лежать вище (нижче) дотичної, проведеної до графіку в точці (х, ƒ(х)), окрім самої точки х, яка лежить на дотичній.

Визначення 2. Нехай функція ƒ диференційована при х = х та у = l(х) – рівняння нахиленої дотичної до графіку функції ƒ в точці (х, ƒ(х)). Якщо різність ƒ(х) – l(х) змінює знак при переході через точку х, то х називається точкою перегину функції у = ƒ(х). Якщо х є точкою перегину функції у = ƒ(х), то точка (х, ƒ(х)) називається точкою перегину графіку функції ƒ. В точці (х, ƒ(х)) графік функції переходить з однієї сторони нахиленої дотичної на іншу сторону.

Теорема. (необхідна умова точки перегину) Якщо в точці перегину функції існує друга похідна, то вона дорівнює 0.

Теорема.(перша достатня умова точок перегину) Якщо функція ƒ диференційована в точці х, двічі диференційована в деякому проколотому околі цієї точки та її друга похідна змінює знак при переході аргументу через точку х, то точка х є точкою перегину функції ƒ.

Теорема. (друга достатня умова точок перегину) Якщо в деякій точці друга похідна функції дорівнює 0, а третя відмінна від 0, то ця точка є точкою перегину.

Приклад. Знайти точки перегину та визначити проміжки опуклості та угнутості кривої .

Маємо . Друга похідна стає нулем при . Якщо , то; коли . Таким чином, на проміжку графік опуклий, а на проміжку - угнутий. Точка кривої з абсцисою є точкою перегину.

Приклад. Дослідити на точки перегину криву .

Маємо . При . Досліджуємо зміну знака. При (крива угнута), при (крива теж угнута). Друга похідна не змінює знака, крива не має точок перегину.