тимс - Лекції / оценивание параметров распределения / Лекція 2.2

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 18

з теми: «ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ВИБІРКОВИЙ МЕТОД. ПОНЯТТЯ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.10.02 Оцінювання параметрів розподілу

Дисципліна: «Теорія ймовірностей та математична статистика»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Загальні відомості про вибірковий метод. Поняття оцінки параметрів.

Мета:

• Дидактична: розглянути теоретичну основу вибіркового методу статистичних досліджень, основні напрямки та вимоги до такого виду статистичного дослідження.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до математики як науки, здатність читати математичну літературу, вміння чітко формулювати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція № 18.

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: язиковий, репродуктивний. наглядний, індуктивний, методи усного контролю знань.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 1977.

3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.

4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2. Учебное пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

5. Медведева М. И., Новожилова Е. Г. Теория вероятностей и математическая статистика с применением информационных технологий: Учеб. пособие. – Донецк: ДонНУ, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують – дискретна математика, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються – моделювання виробничих та економічних процесів, математична економіка.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення варіаційного ряду. Визначити види варіаційних рядів.

• Визначити закон розподілу дискретного варіаційного ряду. Навести приклади.

• Визначити розподіл інтервального варіаційного ряду.

• Визначити ваги варіаційного ряду.

• Визначити основні характеристики варіаційних рядів: інтервального та дискретного.

• Емпірична функція розподілу варіаційного ряду: дискретного та неперервного. Властивості функції розподілу.

• Визначити графічні зображення варіаційних рядів.

• Визначити середні величини та показники варіації. Пояснити зміст цих чисел для характеристики ознаки, заданої варіаційним рядом.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Загальні відомості про вибірковий метод. Поняття оцінки параметрів.

• Мотивація вивчення матеріалу: в сучасному світі теорія ймовірностей є найважливішою та найцікавішою наукою, що має багато парадоксальних висновків, але чітко описує всі процеси та їх наслідки, що можливо дослідити. Вивчення основних питань теорії ймовірностей дозволяє розширити можливості спеціаліста – програміста, надає більш глибоке бачення економічних, природничих та інших явищ у суспільстві.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 18.

Тема: «ЗАГАЛЬНІ ВІДОМОСТІ ПРО ВИБІРКОВИЙ МЕТОД. ПОНЯТТЯ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ РОЗПОДІЛУ.»

План лекції № 18.

1. Загальні відомості про вибірковий метод дослідження, його переваги.

2. Поняття оцінювання параметрів розподілу.

Статистичні спостереження

↓ ↓

суцільне: вибіркове:

вивчають всі об’єкти вивчають частину об’єктів

сукупності, наприклад сукупності, наприклад

перепис населення. соціологічні дослідження.

Всі об’єкти, що вивчаються – генеральна сукупність – сукупність всіх мислимих спостережень, які могли б бути зроблені при даному комплексі умов – аналогічно поняттю випадкової величини.

Частина об’єктів, яка відібрана для безпосереднього вивчення з генеральної сукупності – вибірка.

Число об’єктів у вибірці – об’єм вибірки (як кінцевий, так і нескінченний).

Сутність вибіркового методу: по деякій частині генеральної сукупності судити про її властивості в цілому.

Переваги вибіркового методу: Недоліки:

1) економія затрат ресурсів (гроші, помилки дослідження, які мо -

люди, час). жуть бути заздалегідь оцінені

2) єдино можливий у випадку нес- і зведені до практично незнач-

кінченої генеральної сукупності або них величин.

коли дослідження пов’язане з зни-

щеням реальних об’єктів.

3) при однакових витратах дає

можливість для проведення заглиб-

ленного дослідження за рахунок

розширення програми дослідження.

4) знижує помилки реєстрації, тобто

розходження між істинними і зареєст-

рованними значеннями ознаки.

Щоб за даними вибірки мати можливість судити про генеральну сукупність, вона повинна бути відібрана випадково (принцип рівної можливості всім елементам генеральної сукупності бети відібраним у вибірку). На практиці це досягається за допомогою лотереї або за допомогою випадкових чисел, що виробляє ЕОМ.

Вибірка називається представницькою, якщо вона достатньо добре відтворює генеральну сукупність.

Види вибірок:

• власне-випадкова вибірка (випадковий вибір елементів без групи)4

• механічна вибірка (елементи обирають через визначений інтервал);

• типова (випадковим чином відбираються елементи з типових груп, на які розбита генеральна сукупність);

• серійна вибірка (відбираються цілі групи сукупності).

Способи вибірок:

• повторний відбір (схема поверненої кулі);

• безповторний відбір (схема неповерненої кулі).

Математична теорія вибіркового методу ґрунтується на аналізі власне-випадкової вибірки.

Характеристики вибірки та генеральної сукупності:

х_і – значення ознаки;

N і n – об’єми генеральної і вибіркової сукупностей.

N_і і n_і – число елементів генеральної і вибіркової сукупності.

M і m – число елементів генеральної і вибіркової сукупності, що володіють даною ознакою.

Характеристики генеральної і вибіркової сукупностей розраховуються за формулами:

Характеристика	Генеральна сукупність	Вибірка
Середня
Дисперсія
Частка

Задача вибіркового методу – оцінка параметрів генеральної сукупності за даними вибірки.

Теоретичні основи вибіркового методу – закон великих чисел.

Поняття оцінки параметрів.

Нехай розподіл ознаки Х – генеральної сукупності – заданий функцією імовірностей (для дискретної випадкової величини) або щільністю імовірностей (для безперервної випадкової величини) з невідомим параметром θ.

Про параметр θ намагаються судити по вибірці х₁, х₂, ... , х_п.

Визначення:

Оцінкою параметра θ називають будь-яку функцію результатів спостережень над випадковою величиною Х, за допомогою якої судять про значення параметра θ: .

Оцінка θ_п – випадкова величина, яка залежить від закону розподілу випадкової величини Х і числа п.

Про якість оцінки судять не по індивідуальним її значенням, а лише по розподілу її значень у великій мережі випробувань, тобто по вибірковому розподілу оцінки.

Основна умова, якій повинна відповідати найкраща оцінка: розсіювання випадкової величини відносно θ, наприклад, , було по можливості якомога менше. .

Властивості оцінок:

1. Оцінка параметра θ називається незміщеною, якщо .

Потреба незміщености гарантує відсутність систематичних оцінок при оцінюванні.

2. Оцінка параметра θ називається забезпеченою, якщо вона задовольняє закону великих чисел, тобто .

Практичний зміст мають тільки забезпечені оцінки (при )

Теорема: Якщо оцінка параметра θ є незміщеною, а її дисперсія , при , то оцінка є і забезпеченою.

3. Незміщена оцінка параметра θ називається ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію серед усіх можливих незміщених оцінок параметра θ, обчислених по вибіркам одного і того ж об’єму п (вирішальна властивість, визначає якість оцінки).

Ефективність оцінки визначається співвідношенням:

, де і - дисперсії ефективної і даної оцінок.

Чим ближче е до 1, тим ефективніше оцінка.

Якщо е→1 при n→∞, то така оцінка називається асимптотично-ефективною.

Висновок:

У якості статистичних оцінок параметрів генеральної сукупності бажано використовувати оцінки, що задовольняють одночасно вимогам незміщеності , забезпеченості і ефективності.