тимс - Лекції / оценивание параметров распределения / Лекція 2.2

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 20

з теми: «ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ ПО ВИПАДКОВІЙ ВИБІРЦІ. ПРИКЛАДИ.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.10.02 Оцінювання параметрів розподілу

Дисципліна: «Теорія ймовірностей та математична статистика»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Оцінка параметрів генеральної сукупності по випадковій вибірці. Приклади.

Мета:

• Дидактична: розглянути приклади знаходження точкових оцінок параметрів розподілу різними методами та перевірки властивостей знайдених оцінок.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до математики як науки, здатність читати математичну літературу, вміння чітко формулювати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція № 20.

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: язиковий, репродуктивний. наглядний, індуктивний, методи усного контролю знань.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 1977.

3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.

4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2. Учебное пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

5. Медведева М. И., Новожилова Е. Г. Теория вероятностей и математическая статистика с применением информационных технологий: Учеб. пособие. – Донецк: ДонНУ, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують – дискретна математика, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються – моделювання виробничих та економічних процесів, математична економіка.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення вибірці. Визначити види вибірок.

• Визначити способи організації вибірок.

• Визначити основні характеристики вибіркової сукупності: вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, вибіркову долю.

• Визначити поняття генеральної сукупності, пов’язати вибірку із генеральною сукупністю.

• Визначити основні характеристики генеральної сукупності та їх зв’язок з вибірковими характеристиками.

• Сформулювати закон великих чисел.

• Визначити основні методи знаходження точкових оцінок параметрів розподілу: метод моментів та метод максимальної правдоподібності.

• Сформулювати основні властивості точкових оцінок.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Оцінка параметрів генеральної сукупності по випадковій вибірці. Приклади.

• Мотивація вивчення матеріалу: в сучасному світі теорія ймовірностей є найважливішою та найцікавішою наукою, що має багато парадоксальних висновків, але чітко описує всі процеси та їх наслідки, що можливо дослідити. Вивчення основних питань теорії ймовірностей дозволяє розширити можливості спеціаліста – програміста, надає більш глибоке бачення економічних, природничих та інших явищ у суспільстві.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 20.

Тема: «ОЦІНКА ПАРАМЕТРІВ ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ ПО ВИПАДКОВІЙ ВИБІРЦІ. ПРИКЛАДИ.»

План лекції № 20.

1. Оцінка генеральної середньої.

2. Оцінка генеральної долі.

3. Оцінка генеральної дисперсії.

4. Приклади.

Оцінка генеральної частки.

Нехай N – об’єм генеральної сукупності, М – число елементів, що володіють ознакою А. Знайти найкращу оцінку генеральної частки .

В якості такої можливої оцінки роздивляються вибіркову частку .

Вибірка повторна: , де випадкова величина Х_k - виражає число появ ознаки в k-му елементі вибірки. (є ознака, Х_k=1; немає ознаки Х_k=0), і має один і той же закон розподілу

(чому?)

Випадкові величини Х₁, Х₂, ..., Х_k незалежні, оскільки незалежні будь-які події Х_k=0, Х_k=1 і їх комбінації.

Теорема: Вибіркова частка повторної вибірки є незміщена і заможна оцінка генеральної частки , до того ж її дисперсія , де .

Вибірка безповторна.

В цьому випадку випадкові величини Х₁, Х₂, ..., Х_k залежні.

Наприклад, Х₁=1, Х₂=1. При цьому

Але і для вибірки безповторної вибіркової частки w є „доброю” оцінкою.

Теорема: Вибіркова частка без повторної вибірки є незміщена і заможна оцінка генеральної частки , до того ж її дисперсія , де .

Окремі випадки:

1. нехай , тобто якщо об’єм вибірки значно менше об’єму генеральної сукупності, то вибірка практично не відрізняється від повторної і .

2. Нехай , тобто вибіркова частка w= генеральній частці р і її дисперсія =0.

Приклад:

Знайти незміщену і заможну оцінку частки працівників цеху з виколенням не менше 124% по вибірці в табл. 1.

Рішення:

- оцінка генеральної частки – вибіркова частка - незміщена і заможна.

Оцінка генеральної середньої.

Нехай з генеральної сукупності об’єму N відібрана випадкова вибірка Х₁, Х₂, ... , Х_к, ... , Х_п, де Х_к – випадкова величина, що виражає значення ознаки з к-го елемента вибірки .

Знайти „найкращу” оцінку для генеральної середньої.

В якості можливої оцінки роздивимось вибіркову середню , тобто .

Вибірка повторна:

Закон розподілу для кожної випадкової величини Х_к має вид:

Випадкові величини Х₁, Х₂, ... , Х_п – незалежні, оскільки незалежні будь-які події Х_к=х_і і їх комбінації.

тобто математичне чекання і дисперсія випадкової величини Х_к - це відповідно генеральна середня і генеральна дисперсія.

Теорема:

Вибіркова середня повторної вибірки є незміщена і заможна

оцінка генеральної середньої , до того ж .

Вибірка безповторна.

В цьому випадку Х₁, Х₂, ... , Х_п – залежні.

Роздивимось події Х₁=х₁, Х₂=х₁, тоді .

Але і для без повторної вибірки вибіркова середня є „доброю” оцінкою.

Теорема:

Вибіркова середня без повторної вибірки є незміщена і заможна оцінка генеральної середньої , до того ж .

Приклад:

Знайти незміщену і заможну оцінку середньої виробітки працівників цеха за даними вибірки, представлених в табл. 1.

Рішення:

Незміщена і заможна оцінка генеральної середньої є вибіркова середня , =119,2%

Оцінка генеральної дисперсії.

Теорема: Вибіркова дисперсія S² повторної і без повторної вибірок є зміщена і заможна оцінка генеральної дисперсії .

Значить, S² не є „доброю” оцінкою для .

Вибірка повторна:

Для повторної вибірки значення Х₁, Х₂, ... , Х_п – незалежні випадкові величини, кожна з яких має один і той же закон розподілу:

і числові характеристики .

Знайдемо математичне чекання оцінки S²:

оскільки - незміщена оцінка , то і .

Значить, .

Вибірка безповторна:

Х₁, Х₂, ... , Х_п – залежні випадкові величини.

.

Значить, для без повторної, як і для повторної, вибірки , тобто S² – зміщена оцінка.

Оскільки і , то вибіркова дисперсія занижує генеральну дисперсію, і заміняючи σ² на S², допускається систематична погрішність. Для її ліквідації, вводять виправлення – „ виправлену” вибіркову дисперсію

.

Значить, є незміщеною і заможною оцінкою генеральної дисперсії σ².

Приклад:

Знайти незміщену і заможну оцінку дисперсії випадкової величини Х – виробітки працівників цеху по даним табл. 1.

Рішення:

Незміщеною і заможною оцінкою дисперсії випадкової величини Х (генеральної дисперсії) σ² є „виправлена” дисперсія .

Вибіркова дисперсія

Зауваження:

Різниця між S² і помітна при невеликому числі спостережень п. При п>30 або 40, , тобто в якості оцінки для σ² цілком можна застосовувати вибіркову дисперсія S².