тимс - Лекції / оценивание параметров распределения / Лекція 2.2

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 19

з теми: «ВЛАСТИВОСТІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ. МЕТОДИ ЗНАХОДЖЕННЯ ОЦІНОК.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.10.02 Оцінювання параметрів розподілу

Дисципліна: «Теорія ймовірностей та математична статистика»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Властивості оцінки параметрів. Методи знаходження оцінок.

Мета:

• Дидактична: розглянути основні властивості точкових оцінок параметрів розподілу випадкової величини, методи знаходження оцінок. Ознайомитися з методами перевірки властивостей отриманих оцінок.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до математики як науки, здатність читати математичну літературу, вміння чітко формулювати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція № 19.

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: язиковий, репродуктивний. наглядний, індуктивний, методи усного контролю знань.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 1977.

3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.

4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2. Учебное пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

5. Медведева М. И., Новожилова Е. Г. Теория вероятностей и математическая статистика с применением информационных технологий: Учеб. пособие. – Донецк: ДонНУ, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують – дискретна математика, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються – моделювання виробничих та економічних процесів, математична економіка.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Дати визначення вибірці. Визначити види вибірок.

• Визначити способи організації вибірок.

• Визначити основні характеристики вибіркової сукупності: вибіркове середнє, вибіркову дисперсію, вибіркову долю.

• Визначити поняття генеральної сукупності, пов’язати вибірку із генеральною сукупністю.

• Визначити основні характеристики генеральної сукупності та їх зв’язок з вибірковими характеристиками.

• Сформулювати закон великих чисел.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Властивості оцінки параметрів. Методи знаходження оцінок.

• Мотивація вивчення матеріалу: в сучасному світі теорія ймовірностей є найважливішою та найцікавішою наукою, що має багато парадоксальних висновків, але чітко описує всі процеси та їх наслідки, що можливо дослідити. Вивчення основних питань теорії ймовірностей дозволяє розширити можливості спеціаліста – програміста, надає більш глибоке бачення економічних, природничих та інших явищ у суспільстві.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 19.

Тема: «ВЛАСТИВОСТІ ОЦІНКИ ПАРАМЕТРІВ. МЕТОДИ ЗНАХОДЖЕННЯ ОЦІНОК.»

План лекції № 19.

1. Властивості оцінки параметрів розподілу.

2. Методи знаходження оцінок.

Нехай розподіл ознаки Х – генеральної сукупності – заданий функцією імовірностей (для дискретної випадкової величини) або щільністю імовірностей (для безперервної випадкової величини) з невідомим параметром θ.

Про параметр θ намагаються судити по вибірці х₁, х₂, ... , х_п.

Визначення:

Оцінкою параметра θ називають будь-яку функцію результатів спостережень над випадковою величиною Х, за допомогою якої судять про значення параметра θ: .

Оцінка θ_п – випадкова величина, яка залежить від закону розподілу випадкової величини Х і числа п.

Про якість оцінки судять не по індивідуальним її значенням, а лише по розподілу її значень у великій мережі випробувань, тобто по вибірковому розподілу оцінки.

Основна умова, якій повинна відповідати найкраща оцінка: розсіювання випадкової величини відносно θ, наприклад, , було по можливості якомога менше. .

Властивості оцінок:

1. Оцінка параметра θ називається незміщеною, якщо .

Потреба незміщености гарантує відсутність систематичних оцінок при оцінюванні.

2. Оцінка параметра θ називається забезпеченою, якщо вона задовольняє закону великих чисел, тобто .

Практичний зміст мають тільки забезпечені оцінки (при )

Теорема: Якщо оцінка параметра θ є незміщеною, а її дисперсія , при , то оцінка є і забезпеченою.

3. Незміщена оцінка параметра θ називається ефективною, якщо вона має найменшу дисперсію серед усіх можливих незміщених оцінок параметра θ, обчислених по вибіркам одного і того ж об’єму п (вирішальна властивість, визначає якість оцінки).

Ефективність оцінки визначається співвідношенням:

, де і - дисперсії ефективної і даної оцінок.

Чим ближче е до 1, тим ефективніше оцінка.

Якщо е→1 при n→∞, то така оцінка називається асимптотично-ефективною.

Висновок:

У якості статистичних оцінок параметрів генеральної сукупності бажано використовувати оцінки, що задовольняють одночасно вимогам незміщеності , забезпеченості і ефективності.

Методи знаходження оцінок.

1. Метод моментів (автор: К. Пирсон): визначена кількість вибіркових моментів (початкових ν_к або центральних μ_к) дорівнюється до відповідних теоретичних моментів розподілу (ν_к або μ_к) випадкової величини Х.

(дискретна випадкова величина)

(безперервна випадкова величина).

Приклад:

Знайти оцінку методу моментів для параметра λ закону Пуассона.

Значить, оцінка методу моментів параметра λ закону Пуассона є вибіркова середня .

2. Метод максимальної правдоподібності (автор – Р. Фішер).

Основа метода – функція правдоподібності, що виражає щільність імовірності спільної появи результатів вибірки х₁, х₂, ... , х_п:

згідно методу максимальної правдоподібності в якості оцінки невідомого параметра θ приймають таке значення , яке максимізує функцію L.

Для відшукування оцінки параметра θ треба вирішити рівняння правдоподібності:

або

і відібрати те рішення, яке звертає функцію в максимум.

Приклад:

Знайти оцінку методу максимальної правдоподібності для імовірності р настання деякої події А по даному числу т появи цієї події в п незалежних випробуваннях.

Рішення:

Складемо функцію правдоподібності:

рівняння правдоподібності

.

оцінкою методу максимальної правдоподібності імовірності р події А буде частість цієї події.

Дома: Знайти оцінки методу максимальної правдоподібності для параметрів а і σ² нормального закону розподілу за даними вибірки.

Висновок:

Якщо для параметра θ існує ефективна оцінка , то оцінка максимальної правдоподібності єдина і дорівнює . Оцінки максимальної правдоподібності є заможними, асимптотичні ефективні і мають асимптотичний нормальний розподіл.

3. Метод найменших квадратів – оцінка визначається з умови мінімізації суми квадратів відхилень вибіркових даних від обумовленої оцінки.

Приклад: Знайти оцінку методу найменших квадратів для генеральної середньої . .

По необхідній умові екстремуму

, де - вибіркова середня – оцінка генеральної середньої .

Метод найменших квадратів найефективніший на практиці і не потребує великих обчислень.