тимс - Лекції / оценивание параметров распределения / Лекція 2.2

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 21

з теми: «ДОСЛІДЖЕННЯ ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ НА НЕЗМІЩЕНІСТЬ ТА ЕФЕКТИВНІСТЬ.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.10.02 Оцінювання параметрів розподілу

Дисципліна: «Теорія ймовірностей та математична статистика»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Дослідження оцінок параметрів генеральної сукупності на незміщеність та ефективність.

Мета:

• Дидактична: розглянути методи дослідження точкових оцінок на незміщеність та ефективність для дискретних та неперервних вибіркових сукупностей. Ознайомитися з функцією інформації та нерівністю Фішера.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до математики як науки, здатність читати математичну літературу, вміння чітко формулювати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція № 21.

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: язиковий, репродуктивний. наглядний, індуктивний, методи усного контролю знань.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 1977.

3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.

4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2. Учебное пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

5. Медведева М. И., Новожилова Е. Г. Теория вероятностей и математическая статистика с применением информационных технологий: Учеб. пособие. – Донецк: ДонНУ, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують – дискретна математика, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються – моделювання виробничих та економічних процесів, математична економіка.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Визначити поняття генеральної сукупності, пов’язати вибірку із генеральною сукупністю.

• Визначити основні характеристики генеральної сукупності та їх зв’язок з вибірковими характеристиками.

• Сформулювати закон великих чисел.

• Визначити основні методи знаходження точкових оцінок параметрів розподілу: метод моментів та метод максимальної правдоподібності.

• Сформулювати основні властивості точкових оцінок.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Дослідження оцінок параметрів генеральної сукупності на незміщеність та ефективність.

• Мотивація вивчення матеріалу: в сучасному світі теорія ймовірностей є найважливішою та найцікавішою наукою, що має багато парадоксальних висновків, але чітко описує всі процеси та їх наслідки, що можливо дослідити. Вивчення основних питань теорії ймовірностей дозволяє розширити можливості спеціаліста – програміста, надає більш глибоке бачення економічних, природничих та інших явищ у суспільстві.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 21.

Тема: «ДОСЛІДЖЕННЯ ОЦІНОК ПАРАМЕТРІВ ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ НА НЕЗМІЩЕНІСТЬ ТА ЕФЕКТИВНІСТЬ.»

План лекції № 21.

1. Дослідження оцінок генеральної сукупності на ефективність. Нерівність інформації.

2. Приклади.

Визначення ефективних оцінок.

Нехай - щільність імовірності ознаки Х, якщо Х – безперервна і функція ймовірностей , якщо Х – дискретна.

Для великої кількості генеральних сукупностей при виконанні умов регулярності функції має місце нерівність інформації:

, де - дисперсія оцінки параметра θ.

(дискретний випадок)

(безперервний випадок).

Нерівність інформації дозволяють знайти той мінімум , який повинна мати дисперсія оцінки , щоб бути ефективною оцінкою , тобто .

Приклади: стор. 308, № 9.8, 9.9.

Розглянемо точкові оцінки для низки стандартних розподілів, що найбільш часто зустрічаються на практиці.

Оцінка параметрів нормального розподілу

Оцінки параметрів засміченого нормального розподілу [10]

Як показують дослідження останніх років ознаки виробничо-господарчої діяльності підприємств мають витягнуті в той чи інший бік розподіли з «важкими» хвостами. Тьюки показав, що по мірі віддалення істинного розподілу від нормального вибіркове середнє швидко втрачає свої властивості найкращої оцінки центру нормального розподілу.

Будемо вважати, що нормальний розподіл засмічений нормальними викидами з ти м же середнім, але зі значно більшою дисперсією.

Нехай - доля засмічення розподілу розподілом , тоді ця вибірка належить генеральній сукупності з щільністю розподілу

.(*)

Якщо при цьому спостережувана вибірка , то не є найкращою для параметра як центру розподілу.

Таким чином, якщо на основний розподіл типу накласти засмічуючий зі середнім квадратичним відхиленням, що дорівнює трьом, то Тьюкі пропоную наступну оцінку параметра :

,

де - варіаційний ряд вибірки , - усічена оцінка середнього значення, - найбільше ціле число у, . Відмітимо, що при співпадає зі середнім значенням . Відомо, що . Це дає змогу отримати довірчий інтервал для .

Оцінка параметрів рівномірного розподілу

, де

Оцінка параметрів логарифмічно нормального розподілу

Примітка: Параметри реальних ознак, підлеглих цьому закону:

1. Довговічність виробу, експлуатованого в режимі зносу і старіння.

2. Розмір і об'єм частинок при дробленні.

Оцінка параметра експоненційного розподілу

,

Примітка. Параметри реальних ознак, що мають такі розподіли:

1. Час між збоями технічного пристрою.

2. Довговічність виробу, що працює в режимі експлуатації.

Оцінка параметрів розподілу Коші

Числових характеристик не існує.

Метод прирівнювання теоретичних та емпіричних квантілів дозволяє отримати такі оцінки:

; […] - ціла частина числа.

- вибіркова медіана.

.

- вибірковий квантіль рівня 0,75, тобто, -ий член варіаційного ряду, побудованого за наявною вибіркою.

Оцінка параметрів біноміального розподілу

- число появ події в i-тому, що цікавить нас, спостереженні, тобто в i-тій m-кратній серії незалежних випробувань.

Оцінка параметрів пуассонівського розподілу

, де - число появ події, що цікавить нас, в проміжок i-тої проконтрольованої одиниці часу.

Оцінка параметрів гіпергеометричного розподілу

При відомому значенні параметра :

, де - зафіксована в i-тому спостереженні кількість об'єктів, що мають задані властивості серед випадкових вилучень із сукупності, що складається з об'єктів.