тимс - Лекції / оценивание параметров распределения / Лекція 2.2

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ УКРАЇНИ

ГОРЛІВСЬКИЙ ТЕХНІКУМ ДОНЕЦЬКОГО НАЦІОНАЛЬНОГО УНІВЕРСИТЕТУ

ЛЕКЦІЯ № 23

з теми: «ОЦІНКА ХАРАКТЕРИСТИК ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ ПО МАЛІЙ ВИБІРЦІ.»

Модуль КЗН-02. ПР.О.10.02 Оцінювання параметрів розподілу

Дисципліна: «Теорія ймовірностей та математична статистика»

Розглянуто та схвалено на засіданні циклової комісії інформаційних технологій та прикладної математики. Протокол № ____ від _______20__ р. Голова циклової комісії ПМ Велікодна О. В.

Розробив викладач Велікодна О. В.

ПЛАН ЗАНЯТТЯ

Дата: курс: ІІІ

Викладач: Велікодна Ольга Володимирівна.

Тема: Оцінка характеристик генеральної сукупності по малої вибірці.

Мета:

• Дидактична: Розглянути методи побудови довірчих інтервалів для параметрів розподілу на основі вибірці малого об’єму. Ознайомитися з практичним змістом такого оцінювання та вимогами до оцінювання за допомогою малої вибірці.

• Виховна: виховувати серйозне ставлення до математики як науки, здатність читати математичну літературу, вміння чітко формулювати власні думки.

• Методична: вдосконалити методику проведення лекційного заняття.

Тип: лекція № 23.

Вид: лекція – діалог.

Методи та форми проведення заняття: язиковий, репродуктивний. наглядний, індуктивний, методи усного контролю знань.

Науково-методичне забезпечення:

1. Кремер Н. Ш. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2002.

2. Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статистика.- М.: Высшая школа, 1977.

3. Гмурман В. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. - М.: Высшая школа, 1979.

4. Данко П. Е. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2. Учебное пособие для вузов. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2002.

5. Медведева М. И., Новожилова Е. Г. Теория вероятностей и математическая статистика с применением информационных технологий: Учеб. пособие. – Донецк: ДонНУ, 2002.

Між предметні зв’язки:

• Дисципліни, що забезпечують – дискретна математика, математичний аналіз.

• Дисципліни, що забезпечуються – моделювання виробничих та економічних процесів, математична економіка.

Обладнання: зошити, ручки, крейда, дошка.

ХІД ЗАНЯТТЯ

1. Організаційна частина:

1. відсутні;

2. підготовка до заняття;

3. перевірка д/з.

2. Актуалізація опорних знань:

• Визначити нормально розподілену величину, переваги використання нормально розподіленої величини.

• Визначити поняття надійності та граничної помилки вибірці, формули довірливої ймовірності для середньої та долі для нормально розподілених величин.

• Сформулювати закон великих чисел.

• Визначити алгоритм побудови довірливого інтервалу для середньої та долі генеральної сукупності.

3. Вивчення нового матеріалу:

• Тема лекції: Оцінка характеристик генеральної сукупності по малої вибірці.

• Мотивація вивчення матеріалу: в сучасному світі теорія ймовірностей є найважливішою та найцікавішою наукою, що має багато парадоксальних висновків, але чітко описує всі процеси та їх наслідки, що можливо дослідити. Вивчення основних питань теорії ймовірностей дозволяє розширити можливості спеціаліста – програміста, надає більш глибоке бачення економічних, природничих та інших явищ у суспільстві.

• План вивчення нового матеріалу: надається в конспекті лекції.

4. Виклад нового матеріалу: конспект лекції надається.

5. Закріплення нового матеріалу.

6. Підсумки заняття.

7. Домашнє завдання:

Конспект лекції № 23.

Тема: «ОЦІНКА ХАРАКТЕРИСТИК ГЕНЕРАЛЬНОЇ СУКУПНОСТІ ПО МАЛІЙ ВИБІРЦІ.»

План лекції № 23.

1. Оцінювання генеральної середньої та генеральної долі по вибірці малого об’єму.

2. Оцінювання генеральної дисперсії по вибірці малого об’єму.

Побудова довірчого інтервалу для генеральної частки по помірно великим вибіркам.

Роздивимось об’єм вибірки що складається з десятків спостережень.

Розподіл вибіркової частки w вважаємо наближено нормальним.

Довірчий інтервал для генеральної частки р шукають з умови: .

Границі р₁ і р₂ довірчого інтервалу для р можуть бути знайдені за формулою:

, де .

У випадку великих вибірок, при n→∞, величинами (у порівнянні з 1), (у порівнянні з w), (у порівнянні з ) можна зневажити.

Тоді, .

Приклад: стор. 320, № 9.14.

Оцінка характеристик генеральної сукупності по малій вибірці.

Роздивимось вибірку малого об’єму (п<10-20).

Для такої вибірки: а) не можна зробити висновок про нормальний розподіл і w, оскільки цей висновок отримують із закону великих чисел (центральна гранична теорема); б) не можна зробити заміну дисперсії σ² і частки р їх крапковими оцінками S² () або w, оскільки по закону великих чисел таку заміну роблять тільки при великих п . Тому, для побудови довірчого інтервалу не підходить метод великої і порівняно великої вибірок.

Побудова довірчого інтервалу генеральної середньої по малій вибірці.

Теорема: Якщо ознака (випадкова величина Х) має нормальний закон розподілу з параметрами , тобто , то вибіркова середня при будь-якому п (а не тільки при n→∞) має нормальний закон розподілу .

Отже, якщо відома генеральна дисперсія σ² , то довірчий інтервал можна побудувати також, як при великих вибірках. У цьому випадку нормоване відхилення вибіркової середньої має стандартний нормальний розподіл N(0,1).

Але на практиці майже завжди генеральна дисперсія σ² невідома. Якщо замінити її оцінкою , то .

Уявімо t у вигляді: , тоді чисельник має нормальний розподіл N(0,1), а знаменник має розподіл, близький до нормального , де - ступені волі.

При k→∞, розподіл знаменника → до нормального.

Визначення: Число ступенів волі k визначається як загальне число п спостережень випадкової величини Х мінус число рівнянь l, що пов’язують ці спостереження.

Довірча імовірність для малої вибірки може бути представлена у вигляді

, де - гранична помилка малої вибірки.

, де щільність імовірності розподілу ознаки Х при k=п–1 ступенів волі (табул.)

Довірчий інтервал для :

Приклад: стор. 323, № 9.15.

Побудова довірчого інтервалу для генеральної частки по малій вибірці.

Нехай в генеральній сукупності частка ознаки дорівнює р, то імовірність того, що в повторній вибірці об’єму п т елементів володіють цією ознакою визначеною за формулою Бернуллі: .

Оскільки при р≠0.5 біноміальний розподіл не симетричний, то в якості довірчого інтервалу для р беруть такий інтервал (р₁,р₂), для якого:

, де - фактичне число елементів вибірки, що володіють ознакою.

Стор. 326, приклад № 9.16.

Побудова довірчого інтервалу для генеральної дисперсії.

Нехай розподіл ознаки Х в генеральній сукупності є нормальним і нехай - відомо.

Тоді, вибіркова дисперсія повторної вибірки Х₁,Х₂,...,Х_п

Роздивимось статистику .

Для статистики і і статистика χ² має k=п ступенів волі для розподілу і не залежить від невідомих параметрів випадкової величини Х, а залежить лише від ступенів волі k.

Якщо задана надійність j, то .

χ₁² і χ₂² обирають так, щоб імовірності подій були однаковими, тобто .

Тоді, і довірчий інтервал для генеральної дисперсії ,

Для середнього квадратичного відхилення .

Значення χ₁² і χ₂² знаходять по таблицях з рівностей:

стор. 329, приклад № 9.17.