ПРЗ-1_Уравнения и неравенства

f x 0,

f x g x ;

2 способ: f (x) g(x)

f x 0,

f x g x .

Способ выбирается в зависимости от вида функций.

f (x) a,

4)f (x) a f (x) a, , если a 0 .

Общая схема решения уравнений и неравенств с модулями

1.Найти ОДЗ.

2.Найти нули всех подмодульных функций.

3.Нанести нули на ОДЗ и разбить ОДЗ на промежутки.

4.Найти решение уравнения или неравенства на каждом из промежутков и проверить, принадлежит ли найденное решение данному промежутку.

Ответ: ; 10 2; .

61

Пример 7.2. Решите неравенство х2 2х 2 1.

Ответ: 3; 1 2 1 2; 1 .

Приведем специальные соотношения, которые можно использовать при решении уравнений и неравенств, содержащих знак модуля.

1)u u u 0.

2)u u u 0.

3)u v u2 v2.

9) x a x b b a a x b, де a b.

62

Закрепляем материал самостоятельно

7.6. Решите уравнение:

1)x2 5x 6 2 ;

x2

2)x x x 1 12 ;

3)x2 4 x2 9 5.

7.7. Решите неравенство:

1)3x 1 1;

x5

2)3 x x ;

64

1.17определение уравнения первой степени

1.18определение линейного уравнения

1.19определение уравнения второй степени (квадратного уравнения)

1.20теоремы о нахождении целых и рациональных корней уравнений высших степеней

1.21определение корня уравнения кратности k

1.22теорему о рациональных корнях многочлена с целыми коэффициентами

1.23суть метода неопределенных коэффициентов

1.24способ решения уравнения, содержащего взаимно обратные выражения

1.25определение возвратного уравнения

1.26способ решения возвратного уравнения

1.27определение симметрического уравнения

1.28способ решения симметрического уравнения

1.29способ решения уравнения вида

(x a)(x b)(x c)(x d ) t , где a b c d , или a c b d , или a d b c

1.30 способ решения уравнения вида

(x a)(x b)(x c)(x d ) tx2 , где ab cd , или ac bd ,

или ad bc (abcdt 0)

1.31определение однородного уравнения

1.32способ решения однородного уравнения

1.33способ решения уравнения вида (x a)n (x b)n c

1.34способ решения уравнения вида f 2 (x) g2 (x) A( f (x)g(x))

Занятие 4. Рациональные неравенства. Равносильность и следование неравенств

1.35определение равносильных неравенств

1.36определение равносильных на некотором множестве неравенств

1.37определение следствия неравенства

1.38основные теоремы о равносильности неравенств

1.39обобщенный метод интервалов

66

1.41равносильные преобразования простейших иррациональных уравнений

1.42какие преобразования приводят к появлению посторонних корней при решении иррациональных уравнений

1.43какие преобразования приводят к потере корней при решении иррациональных уравнений

1.44чему равносильно уравнение f (x) a

1.45чему равносильно уравнение f (x)g(x) 0

1.46чему равносильно уравнение f (x) g(x)

1.47чему равносильно уравнение f (x) g(x)

Занятие 6. Иррациональные неравенства

1.48эквивалентные преобразования иррациональных неравенств

1.49чему равносильно неравенство f (x) (x)

1.50чему равносильно неравенство f (x) (x)

1.51чему равносильно неравенство f (x) (x)

1.52чему равносильно неравенство f (x)(x) 0

1.53чему равносильно неравенство f (x) (x) 0

1.54определение дробно-рационального неравенства

Занятие 7. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

1.55определение модуля

1.56основные свойства модуля

1.57геометрический смысл модуля

1.58 чему равносильно уравнение f (x) a

1.59чему равносильно уравнение f (x) g(x)

1.60чему равносильно уравнение f (x) g(x)

1.65чему равносильно неравенство f (x) (x)

1.66общую схему решения уравнения (неравенства), содержащего знак модуля

67

В результате изучения темы «Алгебраические уравнения и неравенства» студент должен УМЕТЬ (оцените себя сами или с помощью преподавателя по пятибалльной шкале)

Таблица 2 — Таблица умений по теме «Алгебраические уравнения и неравенства»

2.1распознавать уравнения с одним неизвестным

2.2распознавать рациональные уравнения

2.3приводить примеры рациональных уравнений

2.4распознавать целые алгебраические уравнения

2.5приводить примеры целых алгебраических уравнений

2.6распознавать дробные алгебраические уравнения

2.7приводить примеры дробных алгебраических уравнений

2.8находить область определения уравнения

2.9определять, какие из двух уравнений являются равносильными

2.10приводить пример уравнения, равносильного данному

2.11определять, какое из уравнений в паре является следствием другого

2.12определять, при каких значениях параметра

равносильны уравнения

Занятие 2. Методы решения рациональных уравнений

2.13различать уравнения первой степени и линейные уравнения

2.14решать уравнения первой степени

2.15решать уравнения второй степени (квадратные уравнения);

2.16находить целые и рациональные корни уравнений высших степеней

2.17решать целые алгебраические уравнения со старшим коэффициентом 1

2.18решать целые алгебраические уравнения со старшим коэффициентом, отличным от 1

2.19решать уравнения методом неопределенных коэффициентов

2.20распознавать уравнения, содержащие взаимно обратные выражения

2.21решать уравнения, содержащие взаимно обратные выражения методом замены

68

2.22распознавать возвратные уравнения

2.23решать возвратные уравнения методом замены

2.24распознавать симметрические уравнения

2.25решать симметрические уравнения методом замены

2.26решать уравнения вида (x a)(x b)(x c)(x d ) t , где

a b c d , или a c b d , или a d b c

2.27решать уравнения вида (x a)(x b)(x c)(x d ) tx2 ,

где ab cd , или ac bd , или ad bc (abcdt 0)

2.28распознавать однородные уравнения

2.29решать однородные уравнения

2.30использовать основное свойство дроби при решении уравнений

2.31решать уравнения вида (x a)n (x b)n c

2.32решать уравнения вида f 2 (x) g2 (x) A( f (x)g(x))

Занятие 3. Решение рациональных уравнений различными методами 2

2.33при решении дробно-рационального уравнения использовать выделение целой части дроби

2.34при решении уравнения использовать выражение одной переменной через другую

2.35при решении уравнения использовать прием разбиение «целого на части»

2.36при решении уравнения использовать прием реконструкция «целого по части»

2.37сводить уравнение к системе

Занятие 4. Рациональные неравенства. Равносильность и следование неравенств

2.38определять, какие из двух неравенств являются равносильными

2.39приводить пример неравенства, равносильного данному;

2.40указывать пары равносильных неравенств

2.41определять, какое из неравенств в паре является следствием другого

2.42применять основные теоремы о равносильности неравенств

2.43решать неравенства обобщенным методом интервалов

2 Умения 2.33—2.37 являются эвристическими умениями.

69

2.45распознавать иррациональные уравнения

2.46применять равносильные преобразования при решении простейших иррациональных уравнений

2.47решать иррациональные уравнения методом замены

2.48использовать монотонность функций при решении иррациональных уравнений

2.49использовать однородности при решении иррациональных уравнений

2.50решать иррациональные уравнения методом сведения к системе уравнений

2.51решать иррациональные уравнения методом оценки левой и правой частей уравнения

2.52использовать идею сопряженности при решении

иррациональных уравнений

Занятие 6. Иррациональные неравенства

2.53применять эквивалентные преобразования при решении иррациональных неравенств

2.54распознавать дробно-рациональные неравенства

2.55решать дробно-рациональные неравенства методом интервалов

2.56решать иррациональные неравенства методом замены

2.57использовать монотонность при решении

иррациональных неравенств

Занятие 7. Уравнения и неравенства, содержащие знак модуля

2.58решать уравнение, содержащее модуль, по определению модуля

2.59решать неравенство, содержащее модуль, по определению модуля

2.60решать уравнение, содержащее модуль, исходя из геометрического смысла модуля

2.61решать неравенство, содержащее модуль, исходя из геометрического смысла модуля

2.62решать уравнение, содержащее модуль, возведением обеих частей в квадрат

2.63решать неравенство, содержащее модуль, возведением обеих частей в квадрат

70