ПРЗ-1_Уравнения и неравенства

первоначально на нем имелся. А это равносильно тому, как если бы первоначальная площадь луга увеличилась на 3 13 у га, т. е. сделалась бы

Ответ. Третий луг может прокормить в течение 18 недель 36 быков.

42

════════════════════════════════════════

Занятие 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ИРРАЦИОНАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

══════════════════════════

Актуализируем знания по теме

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Равносильные преобразования простейших иррациональных уравнений.

2.Решение иррациональных уравнений методом замены.

3.Использование монотонности функций при решении иррациональных уравнений.

4.Использование однородности при решении иррациональных уравнений.

5.Метод сведения к системе уравнений.

6.Метод оценки левой и правой частей уравнения.

7.Идея сопряженности при решении иррациональных уравнений.

Повторяем теоретический материал

Def. Иррациональными уравнениями называются уравнения, в которых переменная содержится под знаком корня.

Решение иррациональных уравнений сводится к переходу от иррационального к рациональному уравнению путем возведения в степень обеих частей уравнения или замены переменной.

При возведении обеих частей уравнения в четную степень возможно появление посторонних корней. Поэтому при использовании указанного метода следует проверить все найденные корни подстановкой в исходное уравнение.

Следует заметить, что указанный метод целесообразно использовать, когда найденные корни уравнения удобны для проверки.

Рассмотрим решение простейших иррациональных уравнений путем равносильных преобразований.

43

Th.5.1 Уравнение f (x) a не имеет корней, если a 0 , и равносильно уравнению f (x) a2 , если a 0 .

его части принимают неотрицательные значения. Следовательно, данное уравнение равносильно системе:

Ответ: x 2.

Заметим, что формальное применение теорем о корне, которые часто используются при решении уравнений, нередко приводит к ошибкам. Очень распространенной ошибкой является применение теоремы о корне

44

из произведения в виде: ab a b .

На самом деле записанная формула справедлива лишь при a 0 и

Поэтому применять теорему нужно на каждом из промежутков отдельно. Таким образом, исходное уравнение равносильно следующей совокупности:

Объединив решения каждой из систем, получим решение уравнения.

Ответ: x = –1 или x = 5.

МЕТОД ЗАМЕНЫ

Зачастую, когда основной метод решения иррациональных уравнений приводит к громоздким преобразованиям, применяют метод замены. Рассмотрим наиболее типичные случаи.

Пример 5.4. Решите уравнение х3 8 4 х3 8 6.

45

x = –4.

Ответ: 4; - 4.

Пример 5.6. Решите уравнение х2 х 4 х2 х 1 2х2 2х 9. Решение. ОДЗ: х R. Пусть x2 x 1 t (t 0) , тогда получим:

условия t > 0). Вернувшись к исходной переменной, получим х = 0 или х = -1. Все преобразования были равносильными. Проверка не требуется.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ МОНОТОННОСТИ ФУНКЦИЙ

Напомним свойства монотонных функций:

а) сумма возрастающих (убывающих) на множестве Х функций также возрастающая (убывающая) функция;

б) если функция y = f(x) возрастает (убывает) на множестве Х, то и функция y = f(x)+ c, где с R также возрастает (убывает) на Х;

в) если функции y = f(x) и y = d(x) возрастают (убывают) на множестве Х и принимают на этом множестве положительные значения, то функция y = f(x)d(x) также возрастает (убывает) на Х.

Свойства монотонных функций позволяют решить многие уравнения

Решение. Данное уравнение можно решить повторным возведением в квадрат или заменой с ограничением. Однако, самый короткий способ — заметить, что значение х = 8 удовлетворяет уравнению (5 - 1 = 4), а левая

L(x) = а(х) + с(х) двух возрастающих функций а(х) = 17 х и

46

с(х) = - 9 х (функция b(x) = 9 х — строго убывающая, поэтому с(x) = -b(х) — строго возрастающая). Значит, если х < 8, то L(х) < L(8) = 4, а если х > 8, то L(x) > L(8) = 4, поэтому у нашего уравнения L(x) = 4 единственный корень х = 8.

Ответ: х = 8.

Отличительная черта последнего способа решения — его универсальность. Этот способ годится для множества обобщений разобранного уравнения.

Отметим, что вместо оценок (типа x < 8 L(x) < L(8) и т. п.) можно сформулировать, доказать, а затем систематически использовать следующее утверждение.

Th.5.5 (о значениях монотонных функций)

Любая строго монотонная на всей области определения функция каждое свое значение принимает не более чем при одном значении аргумента.

Иными словами, если функция L(x) является строго монотонной на своей области определения D(L) R, то при любом значении c R уравнение L(x) = с имеет не более одного решения.

Отсюда следует, что для решения уравнения L(x) = с достаточно указать (и проверить!) один его корень — (конкретное) значение х = x 0 ;

других корней это уравнение иметь не будет.

промежутков х (– ; 0) и х (0; + ).

47

На промежутке (0; + ) исходное уравнение имеет корень х = 1, и он единственный, поскольку справедливо утверждение: если в уравнении f(x)= g(x) функция f(x) возрастает на определенном промежутке, а функция g(x) убывает на этом же промежутке, то это уравнение может иметь не больше одного корня на рассмотренном промежутке.

Рассмотрим теперь промежуток (- ; 0). На нем корень данного уравнения х = -1, и он единственный. Значит, исходное уравнение имеет два корня х =1 и х = -1.

Ответ: 1; -1.

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ОДНОРОДНОСТИ

Соображения однородности при решении уравнений с одной переменной х могут быть использованы в случае, когда то или иное уравнение записывается как однородное относительно каких-то двух новых переменных и = и(х), v = v(x).

и = 3 х 1, v = 3 х 1 , то получится однородное уравнение второй степени: и2 + v2 = 2uv (*). Его можно решать по стандартной схеме для однородных уравнений:

(*) { и = о и v = 0} { uv = k и 1 + k2 = 2k}.

Однако в данном конкретном случае (когда справа стоит коэффициент 2!) проще записать уравнение (*) в виде (и – v)2 = 0 и = v;

соответственно, 3 х 1 = 3 х 1 x 1 x 1 2 = 0 . Ответ: нет решений.

Пример 5.12. Решите уравнение 2 3 (х 1)2 + 3 (х 1)2 = 3 3 х2 1 .

Решение. Данное уравнение тоже относится к однородным уравнениям в указанном выше смысле. Для его решения можно сразу «рассмотреть случаи».

Если х +1 = 0, то подстановка в уравнение значения х = -1 приводит к числовому равенству 0 + 3 8 = 0, которое, очевидно, не выполняется.

48

Ответ: х = - 97 .

Пример 5.13. Решите уравнение 3 х 3 + 3 х 2 = 5 6 (х 2)(х 3) .

Решение. Уравнение тоже относится к однородным уравнениям в указанном выше смысле. ОДЗ: х ( ; 2] [3; + ).

Убедимся, что х = 2 не является корнем данного уравнения (путем непосредственной подстановки значения х = 2 в исходное уравнение).