ПРЗ-1_Уравнения и неравенства

Ответ: 32.

Пример 5.18. Решите уравнение

5х2 20х 21 3х2 12х 28 8х 2х2 3.

Решение. ОДЗ: х R .

1. Составим из данного исходного уравнения новое, в левой части которого выражение, сопряженное с выражением, стоящим в левой части исходного уравнения, а в правой содержится новая неизвестная функция

Решая полученное уравнение относительно х, получим некоторые корни, которые проверяются непосредственно подстановкой в исходное

другие корни. Снова обязательно проверим все корни.

Пример 5.20. Решите уравнение: х3 х2 1 х3 х2 2 3 .

Решение. Составим уравнение х3 х2 1 х3 х2 2 А. Умножив на исходное уравнение, получим

(х3 х2 1) (х3 х2 2) 3А .

51

х3 х2 1 х3 х2 2 3А ; 3А 3; А= –1.

уравнения.

умножим исходное уравнение на полученное, тогда

(2х2 3х 5 )2 (2х2 3х 5)2 3Ах; 6х 3Ах.

х = 0 не является корнем данного уравнения, в чем можно убедиться непосредственной подстановкой. Имеем А = 2.

уравнению. Ответ: 4.

Выполняем задания устно

5.1.Предложите различные методы решения приведенных ниже уравнений:

1)x2 8 2x ;

2)5x 1 3x 19 0 ;

3)x 12x 6 x 3;

4)x 1 x2 x 2 2x 2;

5)3x 1 x 4 1;

6)3x 4 x 4 2x ;

7)x2 4 x2 2x 8 x2 6x 8 ;

8)2x2 3x 5 2x2 3x 5 3x ;

9)x2 3x 18 4x2 3x 6 0 ;

10)x 1 x 3 2(x 1)(x 3) 4 2x ;

52

Практикуемся в решении задач

5.2.Решите уравнение 3x 1 x 4 1 четырьмя способами.

5.3.Решите уравнение x2 4 x2 2x 8 x2 6x 8 .

5.4.Решите уравнение 2x2 3x 5 2x2 3x 5 3x .

5.5.Решите уравнение x 1 x 3 2(x 1)(x 3) 4 2x .

5.6.Решите уравнение 39 x 1 37 x 1 4.

5.7.Решите уравнение x 3 4x 1 x 8 6x 1 1.

Закрепляем материал самостоятельно

Изучаем интересный материал

Термин «рациональное» (число) происходит от латиноамериканского слова ratio — отношение, которое является переводом греческого слова «логос». В отличие от рациональных чисел, числа, выражающие отношение несоизмеримых величин, были названы еще в древности иррациональными, т. е. нерациональными (по-гречески «алогос»). Правда, первоначально термины «рациональный» и «иррациональный» относились не к числам, а к соизмеримым и соответственно не соизмеримым величинам, которые пифагорейцы называли выразимыми и невыразимыми,

53

Теодор Киренский же — симметричными и асимметричными. В V—VI вв. римские авторы Капелла и Кассиодор переводили эти термины на латынь словами rationalis и irrationalis. Термин «соизмеримый» (commensurabilis)

ввел в первой половине VI в. другой римский автор — Боэций. Древнегреческие математики классической эпохи пользовались

только рациональными числами. В своих «Началах» Евклид излагает учение об иррациональности чисто геометрически.

Математики Индии, Ближнего и Среднего Востока, развивая алгебру, тригонометрию и астрономию, не могли обойтись без иррациональных величин, которые, однако, длительное время не признавали за числа. Греки называли иррациональную величину, например, корень из квадратного числа, «алогос» — невыразимое словами, а позже европейские переводчики с арабского на латынь перевели это слово латинским словом surdus — глухой. В Европе термин surdus впервые появился в середине XII в. у Герарда Кремонского, известного переводчика математических произведений с арабского на латынь. Затем у итальянского математика Леонардо Фибоначчи и других европейских математиков, вплоть до XVIII в. Правда, уже в XVI в. отдельные ученые, в первую очередь итальянский математик Рафаэль Бомбелли и нидерландский математик Симон Стевин, считали понятие иррационального числа равноправным с понятием рационального числа. Стевин писал: «Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной закономерностью».

Еще до Бомбелли и Стевина многие ученые стран Среднего Востока в своих трудах употребляли иррациональные числа как полноправные объекты алгебры. Более того, комментируя «Начала» Евклида и исследуя общую теорию отношения Евдокса, Омар Хайям уже в начале XII в. теоретически расширяет понятие числа до положительного действительного числа. В том же направлении много было сделано крупнейшим математиком XIII в. ат-Туси.

Математики и астрономы Ближнего и Среднего Востока вслед за астрономами Древнего Вавилона и эллинистической эпохи широко пользовались шестидесятеричными дробями, арифметические действия с которыми они называли «арифметикой астрономов». По аналогии с шестидесятеричными дробями самаркандский ученый XV в. ал-Каши в работе «Ключ арифметики» ввел десятичные дроби, которыми он пользовался для повышения точности извлечения корней. Независимо от него, но по такому же пути шел открывший в 1585 г. десятичные дроби в Европе Симон Стевин, который в своих «Приложениях к алгебре» (1594 г.) показал, что десятичные дроби можно использовать для бесконечно близкого приближения к действительному числу. Таким образом, уже в

54

XVI в. зародилась идея о том, что естественным аппаратом для введения и обоснования понятия иррационального числа являются десятичные дроби. Появление «Геометрии» Декарта облегчило понимание связи между измерением любых отрезков (и геометрических величин вообще) и необходимостью расширения понятия рационального числа. На числовой оси иррациональные числа, как и рациональные, изображаются точками. Это геометрическое толкование позволило лучше понять природу иррациональных чисел и способствовало их признанию.

В современных учебных руководствах основа определения иррационального числа опирается на идеи ал-Каши, Стевина и Декарта об измерении отрезков и о неограниченном приближении к искомому числу с помощью бесконечных десятичных дробей. Однако обоснование свойств действительных чисел и полная теория их была разработана лишь в XIX в.

════════════════════════════════════════

Занятие 6. ИРРАЦИОНАЛЬНЫЕ НЕРАВЕНСТВА

══════════════════════════

Актуализируем знания по теме

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Эквивалентные преобразования иррациональных неравенств.

2.Дробно-иррациональные неравенства.

3.Метод интервалов при решении иррациональных неравенств.

4.Замена при решении иррациональных неравенств.

5.Использование монотонности при решении неравенств.

Повторяем теоретический материал

Эквивалентные преобразования иррациональных неравенств

Основным методом решения иррациональных неравенств является метод эквивалентных преобразований. Что подразумевает сведение исходного неравенства к равносильной системе рациональных неравенств.

55

Дробно-иррациональные неравенства

При решении иррациональных неравенств с дробями сначала стоит избавиться от знаменателя — перейти к эквивалентной совокупности систем неравенств, а уже потом избавляться от радикалов.

56

Система из линейных неравенств (3) приводит к двойному

Метод интервалов при решении иррациональных неравенств

Способ предыдущего решения неравенства несколько громоздкий. Здесь удобнее применить метод интервалов, основанный на свойстве непрерывности иррациональных алгебраических функций: любая иррациональная алгебраическая функция, записывающаяся с помощью иррационального алгебраического выражения, непрерывна и, следовательно, сохраняет знак на каждом интервале, содержащемся в области определения этой функции.

Поскольку применение метода интервалов к иррациональным алгебраическим уравнениям основывается не на «идеологии» разложения алгебраических выражений на множители — для иррациональных уравнений она просто не проходит, а на идее использования непрерывности иррациональных алгебраических функций, то схему применения метода интервалов изложим «по шагам».

План решения неравенства методом интервалов

1.Приводим неравенство к виду «сравнения с нулем», используя при этом только равносильные преобразования; если в левой части есть дробные выражения, то приводим их к общему знаменателю.

2.Находим область определения левой части неравенства.

3.Находим и отмечаем на числовой оси все корни соответствующего неравенству уравнения L(х) = 0.

4.Определяем знак левой части неравенства на каждом из промежутков, для чего достаточно вычислить значение L(x) в конкретных (желательно, «удобных»!) точках.

5.Указываем множество решений исходного неравенства.

57

Рис. 7 Преимущество метода интервалов состоит в том, что решение

иррационального неравенства сводится к решению уравнений и к элементарным вычислениям, что, как правило, проще.

Замена при решении иррациональных неравенств

Метод замены в неравенствах используют тогда, когда в неравенство входит только один радикал — корень из линейного выражения от х: если обозначить этот радикал через z, то х записывается в виде многочлена от z.

Пример 6.3. Рассмотрим снова неравенство из предыдущего примера и решим его методом замены.

х = 2 - z2, и неравенство записывается в виде:

Ответ: х (- ; 0) [1; 2].

Использование монотонности при решении неравенств

Использование монотонности рассмотрим на примере сложного иррационального неравенства.

Пример 6.4. Решим неравенство: x + x 7 + 2 x(x 7) < 35 - 2x. Решение. Перепишем его в стандартном виде:

возрастающей функцией, как и линейная функция h(x) = 2х - 35; а сумма возрастающих функций также строго возрастает. Вывод: если в какой-то точке х = x0 R+ левая часть неравенства обращается в нуль, то неравенство (*) выполнено для тех и только тех значений х из ОДЗ, для которых х < х0.

58

Итак, чтобы решить неравенство (*), достаточно решить соответствующее уравнение, которое записывается в виде

x + x 7 + x +(x+7) + 2 x x 7 - 42 = 0

( x + x 7 )+ ( x + x 7 )2 – 42 = 0 или z2 + z – 42 = 0, где

Поскольку корень z = -7 не удовлетворяет ограничению z ≥ 7 , приходим к единственному уравнению замены x + x 7 = 6. Решив

Практикуемся в решении задач

Закрепляем материал самостоятельно

6.2. Решите неравенства:

59

════════════════════════════════════════

Занятие 7. УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ЗНАК АБСОЛЮТНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

══════════════════════════

Актуализируем знания по теме

ОСНОВНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Теоремы об эквивалентных переходах.

2.Общая схема решения уравнений и неравенств с модулями.

3.Специальные соотношения.

 Повторяем теоретический материал

Решать уравнения или неравенства с модулем можно одним из основных способов: по определению модуля, исходя из геометрического смысла модуля, возведением обеих частей в квадрат, методом интервалов и графическим способом.

Некоторые уравнения или неравенства можно решить, используя специальные соотношения.

При решении простейших уравнений и неравенств целесообразно использовать равносильные преобразования.

Если a 0, то уравнение решений не имеет.

2) Уравнение вида f (x) g(x) можно решить разными способами:

60