ПРЗ-1_Уравнения и неравенства

Решение.

Делаем

подстановку

x

y

.

После соответствующих

2

преобразований

имеем

y3 5y2 16y 12 0 .

Подбираем целый корень

для y , находим

y 1. Делим левую часть уравнения на y 1 и получаем

уравнение

y2 4y 12 0 , которое не имеет действительных корней. В

результате

x

1

.

2

что

x4 px3

qx2 rx s (x2

ax c)(x2

bx d), где

a, b, c, d —

целые числа,

тогда исходное

уравнение

равносильно

совокупности

2

ax c 0,

x

x 2

bx d 0.

a b 8,

x

4

(a b)x

3

(d ab c)x

2

d ab c 11,

(ad bc)x cd

ad bc 20,

x 2

5,

x4 8x3 11x2 20x 4 0 (x2 4x 1)(x2 4x 4) 0

x 2

2

2.

3.3 Метод замены

3.3.1 Уравнения, содержащие взаимно обратные выражения

Уравнения вида a

f1 (x)

b

f2 (x)

c решают с помощью подстановки

f2 (x)

f1(x)

f1 (x)

f2 (x)

1

1

t .

Тогда

и

получаем

уравнение

at b

c

или

f

(x)

f (x)

t

t

2

1

at2 ct b 0 (t 0) . Если это уравнение имеет корни t

и t

2

то, используя

1

подстановку

f1(x) t f2 (x) , получаем совокупность уравнений

f (x) t f

(x) 0,

1

1

2

f1(x) t2 f2 (x) 0,

которая при

f1(x) f2 (x) 0 равносильна данному уравнению.

3.3.2 Возвратные уравнения

Def.

Уравнения

a x2n a x2n 1

a x2n 2

... a xn

ka

xn 1 k 2a

n 2

xn 2 ... k n 1a x k na

0

0

1

2

n

n 1

1

0

и

a x2n 1

a x2n

a x2n 1

... a xn 1 ka xn k3a

xn 1 ... k 2n 1a x k 2n 1a

0,

0

1

2

n

n

n 1

1

0

где

ai R

(i 0; 1; 2;...; n), a0

0,

называются

возвратными

уравнениями четной и нечетной степеней соответственно.

Чтобы решить возвратное уравнение четной степени, нужно:

1. Разделить обе части уравнения на xn

и сгруппировать так:

a (xn

k n

) a (xn 1

k n 1

) ... a

(x

k

) 0 .

0

xn

1

xn 1

n 1

x

2. Ввести замену

x

k

t(*)

и выразить через t

выражения вида

x

xm

k m

(m = 2, 3, …, n)

последовательным

возведением

обеих частей

xm

равенства (*) во 2, 3, …, n степени.

Возвратное уравнение

нечетной

степени

имеет

корень

x k и

делением многочлена

a x2n 1 a x2n a x2n 1 ... a xn 1 ka xn k3a

xn 1 ... k 2n 1a x k 2n 1a

0

1

2

n

n

n 1

1

0

Решение. 18x4 3x3

25x2

2x 8 0 18x2

3x 25

2

8

0

x

2

x

2

2

4

2

x

t,

18 x

3 x

25 0

3x

2

9x

3x

18t 2

3t 1 0;

2

x

t,

x

x 1,

3x

2

1

,

2

1

3x

x 2

0,

2

3x

3

t

,

x

,

3

2

1

6x2

x 4

0;

3

x

;

1

3x

6

1 97

t

;

x

.

6

12

1

2

97

Ответ:

1;

;

.

3

12

Def. Уравнение ax2n bx2n 1 cx2n 2 ... cx2 bx a 0 , где

a R \ 0 ,b

2. Введением замены

x

1

t ;

x2

1

t2 2;

x3

1

t3 3t ,

x

x2

x3

следовательно, имеет корень x 1.

Разделим многочлен x5 x4

3x3

3x2

x 1 на двучлен x 1.

1

–1

–3

–3

–1

1

–1

1

–2

–1

–2

1

0

Следовательно,

x5 x4 3x3

3x2

x 1 0 (x 1)(x4

2x3 x2 2x 1) 0

x 1,

x 1,

1

1

4

2x

3

x

2

2x 1

0;

x2

2 x

1 0,

x

2

x

x

x 1,

x 1,

x 1,

1

x 1,

2),

x

t(

t

1

2

3

5

3;

x 3x 1

2

x

x x

0;

x

2

.

2t 3 0;

t