Лекция 10. Атом. физ

Лекция 10

5.АТОМЫ С ОДНИМ ВНЕШНИМ ЭЛЕКТРОНОМ

5.1.Квантование энергии водородоподобного атома

Рассмотрим задачу о движении электрона в поле положительно заряженного ядра с зарядом Ze для водородоподобного атома. Сила, связывающая электрон с ядром на расстояниях порядка атомных размеров (~ 10-10 м) является кулоновской силой притяжения. Потенциальная энергия электрона в поле ядра

т.е. в решении уравнения Шредингера

ˆ

H E ,

для кулоновского силового поля (5.1).

Поле, в котором движется электрон, центральносимметричное, поэтому естественно воспользоваться сферическими координатами. Оператор Лапласа в сферических координатах имеет вид:

соответствует кинетической энергии вращения электрона вокруг ядра, зависящей от угловых координат и .

Поскольку степенной ряд тождествен нулю лишь тогда, когда нулями являются все его коэффициенты, то, приравнивая коэффициенты при r 2 , имеем

случае функция a l e r .... при r = 0 обращалась бы в бесконечность, что rl 1

противоречит требованиям, накладываемым на в особых точках. Таким образом, разложение должно начинаться с l 1.

Коэффициенты этого разложения асимптотически ведут себя на бесконечности так же, как и коэффициенты аk :

Этого не будет только для таких значений Е, при которых ряд (5.6) обрывается, т. е. переходит в сумму конечного числа членов. Пусть, например, при k = n числитель формулы (5.9) 2k 0 . Тогда, как видно из (5.8) аk 1 и

все следующие коэффициенты будут равны нулю, т. е. ряд (5.6) оборвется. Соответственно n–й энергетический уровень определится условием 2n 0. Используя его, находим:

что совпадает с соответствующей формулой Бора.

Из сказанного следует, что значения энергии в стационарных состояниях водородоподобного атома зависят только от главного квантового числа n. Но состояния с заданным n, т. е. с заданной энергией Е, могут отличаться друг от друга разными значениями квантовых чисел l и m . Таким образом, одному и потому же значению Е соответствует несколько квантовых состояний. В этом случае говорят, что состояние с энергией Е вырождено. Энергетический уровень Е также называют вырожденным.

Число независимых состояний, суперпозицией которых может быть получено состояние с энергией Е, называется степенью или кратностью вырождения. Найдем кратность вырождения для водородоподобного атома в состоянии с заданным главным квантовым числом n.

Рассмотрим сначала состояния, в которых (наряду с n) имеет определенное значение и число l. Имея ввиду, что ряд (5.6) должен обрываться на члене n-й степени, и l 1 запишем ряд в виде конечной суммы

l = n – 1, так как в этом случае сумма ряда (5.11) сводится до одного члена. Таким образом, при заданном n, число l может принимать значения:

l = 0, 1, 2,…, (n-1),

т. е. всего n значений и соответствующих им квантовых состояний с определенными n и l. При заданном l квантовое число m может принимать 2l+1 различных значений:

m = 0, ±1, ±2, …, ±l...

Поэтому полное число квантовых состояний, в которых может реализоваться состояние с заданным n, равно

l n 1

N (2l 1) n2 .

l0

Вдействительности, как будет показано позднее, это число следует

удвоить из-за наличия спина у электрона. Таким образом, кратность вырождения энергетического уровня в водородоподобном атоме равна 2n2.