алгебра функції

Логарифм числа. Основна логарифмічна тотожність

Рівняння а^х = b, де a > 0, а ≠ 1, b > 0 має єдиний корінь, який називається

логарифмом числа b за основою a і позначається log_ab.

Наприклад: 2^х = 8; х= 3, тобто log₂ 8 = 3.

Логарифмом додатного числа b за основою а, де а > 0, а ≠ 1, називається

показник степеня, до якого треба піднести число а, щоб одержати число b.

Наприклад: log₂8 = 3, оскільки 2³ = 8;

log₂ = – 2, оскільки 2^-2 = ;

log₇l = 0, оскільки 7⁰ = 1.

lg - десятковий логарифм зосно­вою 10

ln - натуральний логарифм з ос­новою е ( е = 2,718281828459045...)

Дія знаходження логарифма числа (виразу) називається лога­рифмуванням.

Потенціювання — знаходження числа (виразу) за його лога­рифмом.

Основна логарифмічна тотожність , де a, b > 0, a ≠ 1

Властивості логарифмів

Для будь-яких а > 0, а ≠ 1 і будь-яких додатних х і у виконуються рівності:

Приклади застосування

Самостійне опрацювання

1

log_а l = 0

,

log₆ 18 + log₆ 2 = log₆(18 – 2) = log₆ 36 = 2;

log₁₂ 48 – log₁₂ 4 = log₁₂ = log₁₂ 12 = 1;

log₃ = log₃ = log₃ 3 = · 1 = ;

log₁₂₅ 5 = log₅³ 5 = log₅ 5 = · 1 = ;

= log₄ 16 = log₄ 4² = 2 log₄ 4 = 2 · 1 = 2.

у = ; lg y = lg = lg (a²b²) – lg c³ = lg a² + lg b² – lg c³ =

= 2 lga + 2 lg b – 3 lg c

Обчисліть:

1. 

2. 

3. log₂8

4. log₈₁3

5. log_0.132

6. log₄ log₉ 81

7. log₉ log₄ 64

8. lg8-lg125

9. log₁₂4+ log₁₂36

10. 

11. log_0.39 - 2 log_0.310

12.

2

log_аa = 1

3

log_а xy = log_а x + log_а y

4

log_а = log_а x – log_а y

5

log_а х ^р = p log_а x (р R)

6

= log_a x (p R)

7

= log_a x (p R)

8

log_a x = (b > 0, b ≠ 1)

Логарифмічні рівняння та нерівності

Логарифмічними рівняннями називають рівняння, які містять змінну під знаком логарифма.

Розв'язати логарифмічне рівняння — це означає знайти всі його корені або довести, що рівняння коренів не має.

Види найпростіших логарифмічних рівнянь при a > 0, а ≠ 1, х > 0

Приклади розв’язування

а^х = b, b > 0  х= log_ab

1. log₃ (2x + 1) = 2. ОДЗ: 2x + 1> 0; x>-

2х + 1 = 3², 2х = 8, х = 4.

Відповідь: 4.

2. log₃x = log₃(6 – х²).

х = 6 – х²; х² + х – 6 = 0;

х₁ = -3 - не є коренем даного рівняння , х₂ = 2.

Перевірка: log₃x = log₃2; log₃(6 – х²) = log₃(6 – 2²) = log₃2.

Відповідь: 2.

3. log_х+1 (2х² + 1) = 2. ОДЗ: x+1≠ 1; x≠ 0

2х² + 1 = (х + 1)²; 2х² + 1 = х² + 2х + 1;

х² – 2х = 0;

х₁ = 0, х₂ = 2.

Відповідь: 2.

Методи розв’язання рівнянь

1. Метод зведення до квадратного

log х – 3log₂ x = 4.

log₂ x = у; у² – 3y = 4; у² – 3у – 4 = 0;

у₁ = 4; у₂ = -1.

Звідси log₂ x = 4, log₂ x =-1

x = 16, x = . Відповідь: 16; .

2. Метод зведення логарифмів до однієї і тієї ж основи.

log₃ х – 2х = 3.

log₃ х – 2 · = 3; log₃ x – 2· = 3; log₃ x + 2log₃ x = 3; 3log₃ x = 3; log₃ x = 1; x = 3.

Перевірка: log₃ 3 – 23 = 1 + 2 = 3.

Отже, х = 3 — корінь. Відповідь: 3

3. Метод потенціювання.

log₅(x – 1) + log₅(x – 2) = log₅(x + 2).

log₅((x – 1)(х – 2)) = log₅(x + 2);

(х – 1)(х – 2) = х + 2;

x² – 2х – х + 2 = х + 2; x² – 4х = 0; х(х – 4) = 0; х₁ = 0 або х₂ = 4. Перевірка (зроби самостійно) Відповідь: 4.

4. Метод логарифмування.

х ^lgx = 100х.

lgx ^lgx = lg(100x); lgx lgx = lg 100 + lgx;

lg²x – lg x – 2 = 0.(див. метод 1.)

Відповідь: 0,1; 100.

log_a х = b  х = а^b

log_x a = b, х ≠ 1  х^b = а х =

log_a x = log_a b  х = b, b > 0

Самостійне опрацювання

log₅ x = 2

log₂(-x) = -3 lg(2x+1) = lg x

lg(x+1) = lg(x+1)

log _x+1 2 = 1

log₃ x < 4

log х – log₅ x > 2.

log _x-3(х – 1) < 2

В розв’язанні логарифмічних нерівностей лежать в основі властивості монотонності логарифмічної функції

log_0,5(x² + х) > -1.

Розв’язання

через те, що - 1 = log_0,50,5^-1 = log_0,52,

то log_0,5(x² + х) > log_0,52.

Одержана нерівність рівносильна системі

Розв'язком першої нерівності є

(-; -1)(0; +).

Розв'язком другої нерівності є [-2; 1].

Відповідь: x [-2; -1)(0; 1].

Якщо а > 1, тоді log_af(x) > log_ag(x)

рівносильна системі нерівностей:

Якщо 0 < а < 1, тоді log_af(x) > log_ag(x) рівносильна системі нерівностей:

Показникові рівняння та нерівності

Показниковими називаються рівняння, у яких невідоме міститься в показнику степеня при постійних основах.

Найпростішим показниковим рівнянням є рівняная а^х = b, де а > 0, а ≠ 1, рівняння має один корінь, якщо b > 0 і не має коренів, якщо b < 0.

Для того щоб розв'язати рівняння, треба b подати у вигляді b = а^c, тоді будемо мати а^x = a^c, звідси х = с

Способи розв'язування показникових рів­нянь

Приклади розв’язання рівнянь

Приклади розв’язання нерівностей

1. Спосіб приведення рівняння до спільної основи, тобто до рів­няння виду

2^х · 5^х = 0,1(10 ^{х – 1})³.

(2 · 5)^х = 0,1·10 ^{3х – 3}; 10^х = 10^-1 · 10^{3х – 3};

10^х = 10^{3х – 4}; х = 3х - 4; х = 2. Відповідь: 2.

2. Спосіб винесення спільного множника за дужки.

3^х - 2 · 3^{х – 2} = 63.

3^{х – 2}(3² – 2) = 63; 3^{х – 2} · 7 = 63; 3^{х – 2} = 9;

3^х-2 =3² ; х – 2 = 2; х = 4.

Відповідь: 4.

3. Спосіб приведення рівняння до квадратного.

49^х – 8 · 7^х + 7 = 0.

(7²)^x – 8 · 7^х + 7 = 0;

(7^х)² – 8 · 7^х + 7 = 0. Нехай 7^х = t>0, тоді

t² – 8t + 7 = 0; t₁ = 7; t₂ = 1.

1) 7^х = 7; х = 1; 2) 7^х = 1; 7^х = 7⁰; х = 0.

Відповідь: 1; 0.

4. Графічний спосіб розв'язування показникових рівнянь.

= х +1.

Будуємо графіки функцій

у = , у = х + 1

Вони перетинаються в точці х = 0

Відповідь: х = 0.

1. 5^х = 125.

5^х = 125, 5^х = 5³, х = 3.

2. = 49

= , х = – 2.

3. 5^{2х – 1} – 5^2х + 2^2х + 2^{2х + 2} = 0.

2^2х + 2^{2х + 2} = 5^2х +5^{2х – 1} ;

2^2x(1+ 2²) = 5^2х(1 – 5^–1); 2^2х · 5 = 5^2х · :5^2х;

5; ; ;

2х = 2; x = l.

Відповідь: 1.

4. 3 · 16^х + 2 · 81^х = 5 · 36^х.

3 · 4^2x + 2 · 9^2x = 5 · 4^х · 9^х:9^2х; ; ; = у>0 ,

тоді 3 y² – 5y + 2 = 0, звідси y₁ = ; y₂ = 1.

Отже: 1) ; ; 2х = 1; х = ; 2) = 1; х = 0. Відповідь: 0; .

Приклад 1. 3^x < 27.

3^х < 3³. (3 > 1, то функція зростає)

х< 3.

Відповідь: х (-;3)

Приклад 2. .

;

— спадна функція

х

Знак нерівності змінюється!

Відповідь: х  (-;- )

Приклад 3. .

через те, що 6>1:

х² + 2х > 3.

х² + 2х – 3 > 0; х₁ =-3; х₂ =1.

Відповідь: (-; -3) (1; +).

Приклад 4. 25^х +25 ∙ 5^x – 1250 > 0.

5^x = t>0, тоді t²+ 25t – 1250 > 0.

t < -50 або t > 25.

5^х < -50 або 5^х > 25.

1) 5^x < -50 — розв'язків немає;

2) 5^x > 25; 5^x > 5²; х > 2.

Відповідь: х > 2.