алгебра похідна інтеграл

Поняття про похідну функції

х – довільна точка, що лежить у деякому околі фіксованої точки х₀.

Δх = х – х₀- приріст незалежної змінної( приріст аргументу) в точці х₀  х = Δх + х₀

f(х) – f (х₀) = f(Δх + х₀) – f(х₀) –приріст функції

∆f = f(Δх + х₀) – f(х₀)  f(х) = f(Δх + х₀) = f(х₀)+ ∆f

Похідною функції f у точці х₀ називається число, до якого прямує різницеве відношення

якщо ∆х→0

Приклад. Знайти похідну функції f(х) = х³ в точці х₀

Розв’язання

1. ∆f = (Δх + х₀)³ – (х₀)³ = 3х₀² Δх + 3 х₀ (Δх)² + (Δх)³

2. = = 3х₀² + 3 х₀ Δх + (Δх)²

3. 3х₀² - стале, ∆х→0 , тоді 3х₀ Δх→0 й (Δх)²→0

→ 3х₀² , якщо ∆х→0  f′ (х₀) = 3х₀².

Геометричний зміст похідної

Фізичний зміст похідної

Похідна в точці х₀ дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної до графіка функції

y = f (x) у цій точці:

f′ (x₀) = tgα >0 f′ (x₀) = tg α <0

f′ (x₀) = tgα = 0

Якщо точка рухається уздовж осі х і її координата змінюється за законом S(t), то миттєва швидкість точки:

v(t) = ,

а прискорення:

а(t) = ,

Приклад: точка рухається прямолінійно по закону

s(t) = 5t³+ t+3.

Знайти v(t) та а(t) в момент часу t = 2 с.

v(t) = 15t² + 1; v(2)= 152²+1=61(м/с)

а(t) = 30t; а(2) = 302=60(м/с²)

Рівняння дотичної до графіка функції y = f (x) в точці х₀: y = f (x₀)+ f′ (x₀)(x - x₀)

Приклад знаходження рівняння дотичної до графіка функції f (x) = у точці х₀= 1:

1)f (x₀) = f (1) = 1; 2)f′ (x) = ( )′ = ; 3)f′ (x₀)= f′ (1) = ; 4) у = 1 + (х-1) = х +

Таблиця похідних елементарних функцій

с' = 0,

де с - const

(x^α)′ = αx^α-1

(kх+b) ′ = k,

( )′ =

(lnx)′=

(sinx)′= cos x

(log_a x)′=

(arcsinx)′=

(kх) ′ = k,

де с - const

(e^x)′ = e^x

(tg x)′=

(ctg x)′=

(a^x)′ = a^x lna

(cosx)′= - sinx

(arctgx)′=

(arccosx)′= -

Правила диференціювання

Приклади застосування таблиці та правил знаходження похідних

Якщо у функцій u(х) і v(х) існують похідні, то

1. (u ± v )′ = u ′ ± v ′

2. (cu) ′ = cu′, де с - const

3. (uv) ′ = u′v + u v ′

4. ( )′ = (v ≠ 0)

5. ′ =

6. ′ =

7. ′ =

1. f (x) =х⁸ + 4х ; f′ (x) = (х⁸ + 4х) ′ = (х⁸ ) ′+ (4х) ′ = 8х⁷ + 4

2. f (x) = 4cosx ; f′ (x) = (4cosx)′ = 4(cosx)′ = -4sinx

3. f (x) = х⁵  sin x; f′ (x) = ( х⁵  sin x)′ = ( х⁵ )′ sin x + х⁵ (sin x)′ = 5х⁴ sin x + х⁵ cosx

4. f (x) = ; f′ (x) = ( )′ ==

5. f (x) = (x – 1)(х + 2) · cos x;

f′(x)=((x–1)(х+2)cosx)'=(x–1)'(x+2)cosx+(x–1)(x+2)'cosx+(x–1)(x+2)·(cosx)' =

=1·(x+2)cosx+(x–1)·1·cosx+(x–1)(x+2)·(–sinx)=(x+2)cosx+(x–1)cosx-(x–1)(x+2)sinx= =(2x+1)cosx-(x-1)(x+2)sinx.

6. ;

f′ (x) = ′=′ =()′ =()′=

Похідна складеної функції

Якщо у = f(g(x)) і існують похідні f′_g і g′_x, то у′_х = f′_g * g′_x, де індекси g і x вказують, за яким аргументом обчислюються похідні. Наприклад, f (x) = (3-5х)⁵ , тут f (g(x)) = (g(x)) ⁵; g (x) = 3-5х ; f′ (x) = 5(3-5х)⁴ (-5) = -25 (3-5х)⁴

у = е^{3 - 2х} у' = (е^{3 – 2x})' = e^{3 – 2x} · (3 - 2х)' = -2e^{3 – 2x}

у = (0,3^sinx) y' = ((0,3)^sinx)'= (0,3)^sinxln 0,3 · (sin x)' = (0,3)^sinx ln 0,3 · cos x = ln 0,3cosx(0,3)^sinx

у = y' = ()'=·ln5·(x²+2х+3)'= ln5–(2х+2) = 2ln5(x+1)

у = ln (х² + 1) y’ = (ln(x²+1))’ = ·(x²+1)’ =

у = sin (3х + 5) у' = (sin(3x + 5))' = cos (3х + 5) · (3x· + 5)' = 3 cos(3x + 5);

у = cos²x у' = (cos² x)' = 2 cos x· (cos x)' = 2 cos x · (- sin x) = = -2 cos x sin x = - sin 2x;

Застосування похідної до дослідження функцій та побудови графіків

Монотонність функції

Достатня умова зростання функції

Достатня умова спадання функції

Необхідна і достатня умова сталості функції

Якщо в кожній точці інтервалу (а;b)

f'(x)>0, то функція f(х) монотонно зростає на цьому інтервалі.

Якщо в кожній точці інтервалу (а;b)

f'(x)<0 , то функція f(х)

монотонно спадає на цьому інтервалі.

Функція f(х) стала на інтервалі (а;b) тоді і тільки тоді, коли f(х)=0 в кожній точці цього інтервалу.

Екстремуми функції

Необхідна умова екстремуму

Достатня умова екстремуму

Якщо точка х₀ - точка екстремуму функції

у = f(х), то ця точка є критичною точкою даної функції, тобто в цій точці похідна або дорівнює нулеві, або не існує.

x_o — точка максимуму

x₁ — точка мінімуму

Якщо функція у = f(х) неперервна в точці х₀ і похідна f¹(х) змінює знак в цій точці, то х₀ - це точка екстремумa функції y=f(x)

Якщо f'(x)>0 при х < х_о,

f'(x) <0 при х > х₀,

то х₀ - точка максимуму

f'(x) змінює знак

з «+» на «–» 

х₀ – max

Якщо f'(x)<0 при х < x₀

f'(x)>0 при х > х_о,

то х₀ - точка мінімуму

f'(x) змінює знак

з «–»на «+» 

х₀ - min

Найбільше і найменше значення функції, неперервній на відрізку

Функція, яка неперервна на відрізку, має на ньому найбільше і найменше значення або в критичних точках, або на його кінцях [а;b]

maxf(x)=f(x₁)

[a;b]

minf(x)=f(x₂)

[a;b]

maxf(x)= f(a)

[a;b]

minf(x)= f(x₁)

[a;b]

maxf(x)=f(a)

[a;b]

minf(x)=f(b)

[a;b]

Схема застосування похідної для знаходження інтервалів монотонності та екстремумів функції

Схема знаходження найбільшого та найменшого значень функції, неперервній на відрізку

Етапи

Приклад дослідження

у = х³ - 3х²

Етапи

Приклад

у = х+, де х є (0; 10]

1. Знайти область визначення заданої функції

D(y) = R

1.Знайти похідну

у’ =1 – = .

2. Знайти похідну

у' = 3х² - 6х

2. Знайти критичні точки (f'(x)=0)

= 0;

x₁= 6, х₂ = -6- не входить до проміжку

3. Знайти критичні точки (f'(x)=0)

3х² - 6х = 0, 3х(х - 2) = 0,

х = 0 або х = 2.

3. Знайти значення функції на кінцях проміжку(f(a) і f(b))

f(10) = 10 +3,6 = 13,6

4. В кожному з інтервалів, на які область визначення розби-вається критичними точками, визначити знак похідної і ха-рактер змінювання функції (за допомогою достатньої умови монотонності)

y'(-1) = 3 · (-1)² - 6 · (-1) = 3 + 6 = 9 > 0;

y'(1) = 3 · І² – 6 - 1 = -3 < 0;

у'(3) = 3 · 3² – 6 · 3 = 27 - 18 = 9 > 0.

3. Знайти значення функції в тих критичних точках, які на­лежать інтервалу [а; b]

f(6) = 6 +6 = 12

5. Відносно кожної критичної точки визначити, чи є вона точкою екстремуму

х_max = 0.

х_min = 2.

4. Із знайдених зна-чень вибрати найбіль-ше і найменше.

Відповідь: f_найб. = f(12) =13,6;

f_найм. = f(6) = 12.

6. Записати результати дослідження

у(х)  х(-;0);(2;+);

у(х)  (0; 2); х_max = 0; х_min = 2.

Правила знаходження найбільшого і найменшого значення функції при розв'язуванні прикладних задач.

1) «Перевести» задачу на мову функцій.

Для цього вибирають х, через який виражають як функцію

у = f(x) величину, яка потрібна

Число 20 запишіть у вигляді суми двох невід'ємних доданків так, щоб добуток їхніх квадратів був найбільшим.

Розв'язання

Нехай 1 доданок- х, тоді 2 доданок –( 20 – х), причому х є [0; 20].

Отже, задача зводиться до знаходження такого х, при якому функція

f(x) = (20 - х)² · х² набуває найбільшого значення на відрізку [0; 20].

f'(x) = 2(20 - х) · (20 - х)' х² + (20 - х)² · 2х = 2х(20 - х)(20 – 2х).

х₁=0 : f(0) = 0; х₂=20: f(l0) = 10 000; х₃=10 : f(20) = 0.

Отже, f_найб. = f(10) = 10 000. Відповідь: 20 = 10 + 10.

2) Знайти найбільше чи найменше значен­ня цієї функції на деякому проміжку;

3) З'ясувати, який практичний зміст (у межах даної задачі) має отриманий (на мові функцій) результат.

Схема дослідження функції

Етапи

Дослідіть функцію f(x) = х³ - 3х² і побудуйте її графік.

1. Знаходимо область визначення функції.

D(f)= R.

2. З'ясовуємо парність функції:

Функція парна, якщо f (-х)= f (х) (графік симетричний відносно осі у).

Функція парна, якщо f (-х) = -f (х) (графік симетричний відносно початку координат)

f(-x) = (-x)³ - 3(-х)² = -x³ - 3х²,

то функція не є парною, не є непарною, отже не буде симетричною

3. Знаходимо точки перетину графіка з координатними осями:

• з віссю Ох: у=0

• з віссю Оу: х=0

Знайдемо абсциси точок перетину графіка з віссю Ох:

x³ - 3х² = 0; х²(х - 3) = 0; х = 0 або х = 3.

Знайдемо ординату точки перетину графіка з віссю Οу:

у = 0³ - 3 · 0² = 0.

4. Визначити проміжки знакосталості:

проміжки, на яких y>0 (графік вище осі Ох)

проміжки, на яких y<0(графік нище осі Ох)

f(x) >0 х(3;);

f(x) <0 х(-;0)(0;3)

5. Знайти похідну та критичні точки (f'(x)=0)

f'(x) = 3х² – 6х = 3х(х - 2).

f'(x) = 0; 3х(x - 2) = 0; х = 0 або х = 2.

6. Визначити проміжки зростання, спадання та точки екстремуму функції (див схему).

7. Знайти значення функції в точках екстремуму

f(0) = 0; f(2) = -4;

8. На підставі проведеного дослідження побудувати таблицю даних та графік функції.

Первісна, її властивості

Означення

Функція F називається первісною для функції f на заданому проміжку, якщо для всіх х з цього проміжку F'(x)= f(x)

Основна властивість первісних

Теорема 1. Нехай функція F(x) є первісною для f(х) на деякому проміжку. Тоді для довільної постійної С функція F(x) + С також є первісною для функції f(х).

Теорема 2. Нехай функція F(x) є первісною для f(x) на деякому проміжку. Тоді будь-яка первісна для функції f(x) на цьому проміжку може бути записана у вигляді F(x) + С, де С — деяка стала (число).

Теореми 1 і 2 виражають основну властивість первісної. Геометричного зміст: графіки будь-яких двох первісних для функції f одержуються один із одного паралельним перенесенням вздовж осі Οу.

Правила знаходження первісних

1. Якщо F(x) і G(x) — первісні відповідно функцій f(x) і g(x) на деякому проміжку, то функція F(x) ± G(x) є первісною функції f(x) ± g(x).

(F(x)± G(x))'=F'(x)± G(x)=f(x)± g(x)

2. Якщо F(x) є первісною для функції f(x), a C — ста­ла, то CF(x) — первісна для функції Cf(x).

F(x) = f(x) то (CF(x))' = CF'(x) = Cf(x)

3. Якщо F(x) є первісною для f(x), a k і b - постійні числа, k0, то F(kx +b) є первісною для функції f(kx + b).

= F'(kx +b)·k= F'(kx +b)= f(kx + b)

Таблиця первісних

f(x)

k- стала

0

1

F(x)

+С

C

x+c

+C

f(x)

ax+b

F(x)

+bx+C

+С

+C

Приклади знаходження первісних

Самостійне опрацювання

1. Знайдіть всі первісні для функції

f(x) = 5 F(x) = 5х + С; f(x) = х⁵ F(x) = + С; f(x) = F(x) = x + С; f(x) = 10^х F(x) = +С

Для даної функції f(x)=3х²-2х знайдіть первісну, графік якої прохо­дить через точку А(1;4):

F(x) = х³-х²+ С; F(1) =4; 1-1+С = 4; С=4, тобто F(x) = х³-х²+4

1. Знайдіть первісні для функції

а) f(x) = ; б) f(x) = .

2. Знайдіть первісну, графік якої прохо­дить через задану точку А:

а) f(x) = х⁴; А(-1; 0);

б) f(x) = sinx, Α(π; 2).

Визначений інтеграл. Формула Ньютона-Лейбніца

Криволінійною трапецією називається фігура, обмежена графі­ком неперервної функції у = f(x), яка не змінює знак на відрізку [а; b], прямими x = а, х = b і відрізком [а; b].

Теорема: Якщо f(x) неперервна і невід’ємна на відрізку [а; b] функція, а F(x) –її первісна на цьому відрізку, то площа відповідної криволінійної трапеції дорівнює: S = F(b)- F(a)

Розглянемо непе­рервну функцію у = f(x), не­від'ємну на відрізку [а; b].

Розіб'ємо відрізок [а; b] на n рівних частин а = x₀ < x₁ < x₂ < … < x_n-1 < х_n = b, довжина кожної частини дорівнює = Δx.

Утворимо суму S добутків f(x_i)·Δx, де і = 0; 1; ... ; n - 1, яка називається інтегральною сумою:

S_n = f(x_o)·Δx + f(x₁)·Δx + f(x₂)·Δx + ... + f(x_n-1)·δx·. Знайдемо S = .

За означенням цю границю називають інтегралом функції y = f(x) від a до b і позначають

Число а називається нижньою межею інтегрування, а число b — верхньою межею інтегрування.

, якщо f(x) 0 для всіх x є [а;b], являє собою площу криволінійної трапеції обмеженої лініями: у = f(x), x = а, х = b, y = 0.

= F(b)- F(a) - формула Ньютона-Лейбніца

Властивості інтеграла

Приклади знаходження інтегралів

1)

2)

3) .

4) .

Застосування інтеграла

Площа криволінійної трапеції

Обчислення площ фігур

S= = F(b)- F(a)

S=

S= -

S=

S=