Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

алгебра тригоном

.doc
Скачиваний:
15
Добавлен:
13.04.2015
Размер:
3.57 Mб
Скачать

Властивості тригонометричних функцій

Властивості

ФУНКЦІЯ

y=sinx

y= cosx

y =tgx

y =ctgx

1

D (у)

R

R

x, nZ

x, nZ

2

Е(у)

[-1;1]

[-1;1]

R

R

3

Парність

Непарна sin(-x)=-sinx

Парна cos(-x)= cosx

Непарна tg(-x)=-tgx

Непарна ctg(-x)=-ctgx

4

Періодичність, період

2

2

5

Нулі функції

n, nZ

, nZ

n, nZ

, nZ

6

Якщо х =0

sinx=0

cosx=1

tgx=0

невизначено

7

Проміжки, на яких у>0

(2n; +2n), nZ

(-),nZ

(),nZ

(),nZ

8

Проміжки, на яких у<0

(+2n; 2+2n), nZ

(),nZ

(-),nZ

(-),nZ

9

Проміжки зростання

[],nZ

[-+2n], nZ

(-),nZ

немає

10

Проміжки спадання

[],nZ

[2n; +2n], nZ

немає

(n, +n), nZ

11

Найменші значення

у=-1, якщо х= , nZ

у=-1, якщо х=, nZ

немає

немає

12

Найбільші значення

у

y=sinx

=1, якщо х=, nZ

у=1, якщо х=, nZ

немає

немає

у=sinx

y=ctgx

y=tgx

y=cosx

Найпростіші тригонометричні рівняння

sin x= a

cos x = a

tgx = a

  1. Якщо а>1, коренів немає

  2. Якщо а1:

Ці дві формули можна з’єднати в одну:

x = (-1)narcsin a +n, nZ

Приклад 1. sinx = .

х = (-1)n arcsin + πп, п Z.

х = (-1)n + πn, п є Z.

Приклад 2. sin х = - .

х = (-1)n arcsin + πп, п Z,

оскільки arcsin = - , тоді

х =(-1)n ·+ πn, nZ;

х = (-1)n+1 + πп, п Z.

  1. Якщо а>1, коренів немає

  2. Якщо а1:

Ці дві формули можна з’єднати в одну:

x = ±arccos a +2n, nZ

Приклад 1. cos x =

х = ± arccos + 2πn, п Z.

х = ± + п, п є Z.

Приклад 2. cos x = -.

х = ±arccos + 2πп, п Z, оскільки

arccos = π - arccos = π - = , тоді

x = ± + 2πn, n Z.

x= arctga+n, nZ

Приклад 1.

tg x =

х = arctg п,

х = + πп, nZ

Приклад 2.

tg x = -1

arctg (-1) = ,

х = + nπ, nZ

ctgx = a

x= arcctga+n, nZ

Приклад 1.

ctg x = 0.

ctg х = ;

x = arcсtg +πп, nZ

x = + πn, nZ

Приклад 2.

ctgx= -1,

оскільки arcctg (-1) = π -arcctg 1 =

= π - =

х =п, nZ

a = -1

sin x=-1

x=-+2n,nZ

a = 0

sin x=0

x=n, nZ

a = 1

sin x=1

x=+2n,nZ

a = -1

cos x=-1

x=+2n, nZ

a = 0

cos x=0

x=+2n, nZ

a = 1

cos x=1

x=2n, nZ

Обернені тригонометричні функції, їх властивості

Арксинусом числа а називається таке число із проміжку синус якого дорівнює а.

Арккосинусом числа а називається таке число з проміжку [0; π], косинус якого дорівнює а.

Арктангенсом числа а називається таке число з проміжку , тангенс якого дорівнює а.

Арккотангенсом числа а називається таке число із інтервалу (0; π), котангенс якого дорівнює а.

Властивості

ФУНКЦІЯ

y=arcsinx

y= arccosx

y =arctgx

y =arcctgx

1

D (у)

[-1;1]

[-1;1]

R

R

2

Е(у)

[]

[0;π]

()

(0;π)

3

Парність

непарна

arcsin (-х) = -arcsin х

ні парна, ні непарна

arccos (-х) = π - arccos х

непарна

arctg (-х) = - arctg х

ні парна, ні непарна

arcctg (-х) = π - arcctg х

4

Нулі функції

у=0 при х=0

у=0 при х=1

у=0 при х=0

немає

5

Проміжки, на яких у>0

х(0;1]

х[-1;0)

х(0;)

хR

6

Проміжки, на яких у<0

х[-1;0)

немає

х[-;0)

немає

7

Проміжки монотонності

зростає на всій області визначення

спадає на всій області визначення

зростає на всій області визначення

спадає на всій області визначення

8

Асимптоти

немає

немає

у=0; у=π

Графік

Графік функції у = arcsin х одержимо із графіка функції у = sin х, х перетворенням симетрії відносно прямої у = х

Графік функції у = arccos x одержимо із графіка функції у = cos x, x [0; π]

пере­творенням симетрії відносно прямої у = х

Графік функції у = arctg х одер­жимо із графіка функції у = tg х, х

перетворенням симетрії

відносно прямої у = х

Графік функції у = arcctg x можна одержати із графіка функ­ції у = ctg x у результаті перетворення симетрії відносно пря­мої у = х


Тригонометричні функції

Тригонометричні функції довільного кута

Радіана міра кутів і дуг

Тригонометричні функції числового аргументу

Градусом називається частина розгорнутого кута.

1º = 60', 1' = 60'', 1' =

1 радіан — центральний кут, який опирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола.

Залежність між радіанним і градусним вимірюванням кутів: 180° = π рад

n

– формула переходу від градусної

міри кута в радіанну

° = рад

45° = 45 · рад = рад

q

– формула переходу від радіанної

міри кута до градусної.

рад =

рад = · =60°

Синусом числа α називається ордината точки Рα, утвореної

пово­ротом точки

Рα (1; 0) навколо початку координат

на кут в α раді­ан.

(позначається sinα)

Косинусом числа α називається абсциса точки Рα, утвореної по­воротом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан.

(позначається cos α)

Тангенсом числа α називається відношення синуса числа α до його косинуса.

(позначається tgα)

Котангенсом числа α називається

від­ношення косинуса числа α до його синуса. (позначається ctgα)

Знаки тригонометричних функцій

sin α

cos α

tg α , ctg α

Таблиця значень синуса, косинуса, тангенса і ко­тангенса деяких чисел

Тригонометричне коло

α

0

=30°

=45°

=60°

=90°

π=180°

=270°

2π=360°

sin α

0

1

0

-1

0

cos α

1

0

-1

0

1

tg α

0

1

-

0

-

0

ctg α

-

1

0

-

0

-

Приклад застосування

cos 2250 = -

sin 2400 = -

cos 1200 = -

sin 1200 =

cos 1800 = -1

sin 900 = 1

Основні формули тригонометрії

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Тригонометричні функції подвійного аргументу

Вираз тригонометричних функцій через тангенс половинного кута

cos2+sin2=1 tgctg=1

ctg

sin2α = 2sinαcosα

cos2α = cos2αsin2α

cos2α = 1-2 sin2

cos2α =2 cos2-1

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел

Тригонометричні функції половинного аргументу

Формули перетворення добутку у суму

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

sin(αβ) = sinαcosβcosαsinβ

cos(αβ) = cosαcosβ + sinαsinβ

cos(α + β) = cosαcosβsinαsinβ 

Формули перетворення суми у добуток

Щоб записати тригонометричні функції чисел виду через функції кута , використовують формули зведення або правило: перед функцією ставиться той знак, який має вихідна функція ( ); якщо кут то функція змінюється на кофункцію, а якщо кут , то заміна не виконується.