алгебра тригоном
.doc
Властивості тригонометричних функцій |
|||||
|
Властивості
|
ФУНКЦІЯ |
|||
y=sinx |
y= cosx |
y =tgx |
y =ctgx |
||
1 |
D (у) |
R |
R |
x, nZ |
x, nZ |
2 |
Е(у) |
[-1;1] |
[-1;1] |
R |
R |
3 |
Парність |
Непарна sin(-x)=-sinx |
Парна cos(-x)= cosx |
Непарна tg(-x)=-tgx |
Непарна ctg(-x)=-ctgx |
4 |
Періодичність, період |
2 |
2 |
|
|
5 |
Нулі функції |
n, nZ |
, nZ |
n, nZ |
, nZ |
6 |
Якщо х =0 |
sinx=0 |
cosx=1 |
tgx=0 |
невизначено |
7 |
Проміжки, на яких у>0 |
(2n; +2n), nZ |
(-),nZ |
(),nZ |
(),nZ |
8 |
Проміжки, на яких у<0 |
(+2n; 2+2n), nZ |
(),nZ |
(-),nZ |
(-),nZ |
9 |
Проміжки зростання |
[],nZ |
[-+2n], nZ
|
(-),nZ |
немає |
10 |
Проміжки спадання |
[],nZ |
[2n; +2n], nZ |
немає |
(n, +n), nZ |
11 |
Найменші значення |
у=-1, якщо х= , nZ |
у=-1, якщо х=, nZ |
немає |
немає |
12 |
Найбільші значення |
у
y=sinx |
у=1, якщо х=, nZ |
немає |
немає |
у=sinx
y=ctgx
y=tgx
y=cosx
Найпростіші тригонометричні рівняння |
|
||||||
sin x= a |
cos x = a |
tgx = a |
|
||||
Ці дві формули можна з’єднати в одну: x = (-1)narcsin a +n, nZ Приклад 1. sinx = . х = (-1)n arcsin + πп, п Z. х = (-1)n + πn, п є Z. Приклад 2. sin х = - . х = (-1)n arcsin + πп, п Z, оскільки arcsin = - , тоді х =(-1)n ·+ πn, nZ; х = (-1)n+1 + πп, п Z. |
Ці дві формули можна з’єднати в одну: x = ±arccos a +2n, nZ Приклад 1. cos x = х = ± arccos + 2πn, п Z. х = ± + 2πп, п є Z. Приклад 2. cos x = -. х = ±arccos + 2πп, п Z, оскільки arccos = π - arccos = π - = , тоді x = ± + 2πn, n Z. |
x= arctga+n, nZ Приклад 1. tg x = х = arctg +πп, х = + πп, nZ Приклад 2. tg x = -1 arctg (-1) = , х = + nπ, nZ
ctgx = a
x= arcctga+n, nZ Приклад 1. ctg x – = 0. ctg х = ; x = arcсtg +πп, nZ x = + πn, nZ Приклад 2. ctgx= -1, оскільки arcctg (-1) = π -arcctg 1 = = π - = х =+πп, nZ |
|
||||
a = -1 sin x=-1 x=-+2n,nZ |
a = 0 sin x=0 x=n, nZ |
a = 1 sin x=1 x=+2n,nZ |
a = -1 cos x=-1 x=+2n, nZ |
a = 0 cos x=0 x=+2n, nZ |
a = 1 cos x=1 x=2n, nZ |
|
|
|
|
||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
|||||||
|
Обернені тригонометричні функції, їх властивості |
|||||
Арксинусом числа а називається таке число із проміжку синус якого дорівнює а. Арккосинусом числа а називається таке число з проміжку [0; π], косинус якого дорівнює а. Арктангенсом числа а називається таке число з проміжку , тангенс якого дорівнює а. Арккотангенсом числа а називається таке число із інтервалу (0; π), котангенс якого дорівнює а.
|
|||||
|
Властивості
|
ФУНКЦІЯ |
|||
y=arcsinx |
y= arccosx |
y =arctgx |
y =arcctgx |
||
1 |
D (у) |
[-1;1] |
[-1;1] |
R |
R |
2 |
Е(у) |
[] |
[0;π] |
() |
(0;π) |
3 |
Парність |
непарна arcsin (-х) = -arcsin х |
ні парна, ні непарна arccos (-х) = π - arccos х |
непарна arctg (-х) = - arctg х |
ні парна, ні непарна arcctg (-х) = π - arcctg х |
4 |
Нулі функції |
у=0 при х=0 |
у=0 при х=1 |
у=0 при х=0 |
немає |
5 |
Проміжки, на яких у>0 |
х(0;1] |
х[-1;0) |
х(0;) |
хR |
6 |
Проміжки, на яких у<0 |
х[-1;0) |
немає |
х[-;0) |
немає |
7 |
Проміжки монотонності |
зростає на всій області визначення |
спадає на всій області визначення |
зростає на всій області визначення |
спадає на всій області визначення |
8 |
Асимптоти |
немає |
немає |
|
у=0; у=π |
|
Графік |
Графік функції у = arcsin х одержимо із графіка функції у = sin х, х перетворенням симетрії відносно прямої у = х
|
Графік функції у = arccos x одержимо із графіка функції у = cos x, x [0; π] перетворенням симетрії відносно прямої у = х |
Графік функції у = arctg х одержимо із графіка функції у = tg х, х перетворенням симетрії відносно прямої у = х
|
Графік функції у = arcctg x можна одержати із графіка функції у = ctg x у результаті перетворення симетрії відносно прямої у = х
|
Тригонометричні функції |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Тригонометричні функції довільного кута |
Радіана міра кутів і дуг |
Тригонометричні функції числового аргументу |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Градусом називається частина розгорнутого кута. 1º = 60', 1' = 60'', 1' = 1 радіан — центральний кут, який опирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола. Залежність між радіанним і градусним вимірюванням кутів: 180° = π рад
n
– формула
переходу від градусної
міри кута в
радіанну
45° = 45 · рад = рад
q
– формула
переходу від радіанної
міри
кута до градусної.
рад = · =60° |
Синусом числа α називається ордината точки Рα, утвореної поворотом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан. (позначається sinα) Косинусом числа α називається абсциса точки Рα, утвореної поворотом точки Рα (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан. (позначається cos α) Тангенсом числа α називається відношення синуса числа α до його косинуса. (позначається tgα) Котангенсом числа α називається відношення косинуса числа α до його синуса. (позначається ctgα) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Знаки тригонометричних функцій |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin α |
cos α |
tg α , ctg α |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Таблиця значень синуса, косинуса, тангенса і котангенса деяких чисел |
Тригонометричне коло |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
α
0
=30°
=45°
=60°
=90°
π=180°
=270°
2π=360°
sin
α
0
1
0
-1
0
cos
α
1
0
-1
0
1
tg
α
0
1
-
0
-
0
ctg
α
-
1
0
-
0
- |
Приклад
застосування
cos
2250
= -
sin
2400
= -
cos
1200
= -
sin
1200
=
cos
1800
= -1
sin
900
=
1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Основні формули тригонометрії |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу |
Тригонометричні функції подвійного аргументу |
Вираз тригонометричних функцій через тангенс половинного кута |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
cos2+sin2=1 tgctg=1
ctg |
sin2α = 2sinαcosα cos2α = cos2α – sin2α cos2α = 1-2 sin2 cos2α =2 cos2-1
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел |
Тригонометричні функції половинного аргументу |
Формули перетворення добутку у суму
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ sin(α – β) = sinαcosβ – cosαsinβ cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Формули перетворення суми у добуток |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Щоб записати тригонометричні функції чисел виду через функції кута , використовують формули зведення або правило: перед функцією ставиться той знак, який має вихідна функція ( ); якщо кут то функція змінюється на кофункцію, а якщо кут , то заміна не виконується. |
|