алгебра функції

Числові функції. Основні властивості функцій

Числовою функцією називається відповідність, яка кожному числу х деякої заданої множини зіставляє єдине число у.

Позначення : у = f(х), де х

– незалежна змінна (аргумент функції), у – залежна змінна (функція).

Множина значень х називається областю визначення функції (позначається D).

Множина значень у називається областю значень функції (позначається Е).

Графіком функції називається множина точок площини з координатами (х, f(х)).

Основні властивості функції

Парність функції

Непарність функції

Монотонність функції

Зростання

Спадання

Функція називається парною, якщо: для будь-якого х з області визначення

f (-х) = f (х)

Графік симетричний відносно осі у.

Функція називається непарною, якщо: для будь-якого х з області визначення

f (-х) = -f (х)

Графік симетричний відносно початку координат

Функція у = f(х) називається зростаючою на інтервалі (а;b), якщо для будь-яких х₁ і х₂ з інтервалу таких, що х₁  х₂

справедлива нерівність

f (x₁)  f (x₂)

Функція у = f(х) називається спадаючою на інтервалі (а;b), якщо для будь-яких х₁ і х₂ з інтервалу таких, що х₁  х₂

справедлива нерівність

f (x₁)  f (x₂)

Приклади графіків, які

не є парними

та непарними

Періодичність функції

Проміжки знакосталості функції

Нули функции

Функція у = f(x) називається періодичною з періодом Т0, якщо для будь-якого х із області визначення числа х + Т і х – Т також належать області визначення і виконується рівність

f (х) = f (х+Т) = f (х - Т)

Т

Графік періодичної функції складається з необмежено повторюваних фрагментів. Щоб побудувати графік періодичної функції, будують фрагмент графіка на будь-якому відрізку довжиною Т (наприклад, [0; Т]), а потім роблять послідовні паралельні переноси фрагменту графіка на Т, 2Т, 3Т тощо, вздовж оси х (вправо і вліво).

Проміжки, на яких y>0

х (-;-1)(0;1)

Проміжки, на яких y<0

х (-1;0)(1; )

Нулем функції у = f(х) називається таке значення аргументу х₀ , при якому функція обертається у нуль:

f(х₀) = 0

В нулі функції її гафік перетинає вісь Ох.

x=-2, x=0, x=2 – нулі функції

Геометричні перетворення графіків

Функція

виду

f(x)  –f(x)

f(x)  f(–x)

f(x) | f(x)|

f(x)  f(|x|)

Перет-

ворення

Симетрія відносно осі ОХ

(точки перетину з Ох не змінюються)

Симетрія відносно осі OY

(точки перетину з Оу не змінюються)

Частина графіка у верхній півплощині і на осі абсцис без змін, а замість частини графіка в нижній півплощині будуємо симетричну їй відносно осі OX

Частину графіка для x ≥ 0 симетрично відображаємо відносно осі OY

Приклад

Функція виду

f(x)  k f(x)

f(x)  f(kх)

f(x)  f(x) + b

f(x)  f(x + а)

Перетворення

При k > 1 розтяг від точки (0; 0) вздовж осі Ox в k раз; при 0 < k < 1 стиск до точки (0;0) вздовж осі Oy в 1/k раз

(точки перетину з Ох не змінюються)

При k > 1 стиск до точки (0; 0) вдовж осі Ox в k раз; при 0<k < 1 розтяг від точки (0; 0) вздовж осі Oy в 1/k раз (точки перетину з Оу не змінюються)

Паралельне перенесення вдовж осі OY на b одиниць

Паралельне перенесення вдовж осі ОХ на (-а) одиниць

Приклад

Корінь n-го степеня, його властивості

Арифметичним коренем n-ої степені з додатнього числа а називається таке додатнє число b, n-а степінь якого дорівнює а, тобто

= b, якщо bⁿ = a (a ≥0, b ≥0)

Функції

у = ,де n N

Властивості коренів

Приклади графіків

Приклади

Самостійне розв’язання

n - непарне

n - парне

1. = , а≥0

=

2. = ,a≥0, b ≥0

=

3. a≥0, b ≥0

4. ()^m = , a≥0

()³ =

5. , a≥0

6. ()ⁿ = a, a≥0 , а R

, а R

Властивості функції

Область визначення:

R

∞

7. , k=НСК(n,m);

Область значень:

R

∞

Парність функції:

8. Якщо а > b 0, тоді >

Наслідки:

1) Якщо а > 1, то > 1 і < а.

2) Якщо 0 < а < 1,

то 0 < < 1 і > а.

3) + > ,

а > b 0, або b > а 0.

1. Порівняти числа і

= = ,

= = .

32 > 27, тоді > , а отже, > .

2. Розташувати в порядку зростання: ; ;

=; ; =

1. Порівняйте числа:

а) і ;

б) і ;

в) і .

2. Розташуйте в порядку зростання

a) ; ; ;

б) ; ; .

функція непарна

функція не є ні парної, ні непарною.

Нулі: у = 0 при х = 0

Проміжки знакосталості:

y>0 х(-;0)

y<0 х(0;)

y>0 х(0;)

Проміжки монотонності: функція зростає для всіх х з області визначення

Графіки функцій проходять через точки:

(-1; 1), (0;0), (1;1)

(0;0), (1;1)

Степені з раціональним показником, їхні властивості

Степенем числа а>0 з раціональним показником, де m - ціле число, а n - натуральне (n>1), називається число

a^r = =

Властивості степенів

Приклади

Самостійне розв'язання

Для будь-яких раціональних чисел r і s та будь-яких а>0 і b>0:

1. a^r  a^s = a^r+s

1)

2)

3)

4)

5) Порівняйте числа:

а) і : , так як

б) 2³⁰⁰ і 3²⁰⁰ : 2³⁰⁰ = (2³)¹⁰⁰ = 8¹⁰⁰; 3²⁰⁰ = (3²)¹⁰⁰ = 9¹⁰⁰ 8<9, тоді маємо: 8¹⁰⁰ <9¹⁰⁰, тобто 2³⁰⁰<3²⁰⁰

Подайте у вигляді кореня

вираз

а)3^1,2 ;б)4^1,25

Подайте у вигляді степеня:

а) ; б)

Знайдіть значення виразу:

Розкладіть на множники:

Порівняйте числа:

а) і ; б) 0,4^-2,7 і

2. a^r : a^s = a^r-s

3. (a^r)^s = a^rs

4. (ab)^r = a^r  b^r

5.

6. а⁰ = 1, а ≠ 0, n N

7. а^-n = , а ≠ 0, n N

8. Якщо 0< а< b,тоді

а^г< b^г, при r >0, а^г>b^г,

а^г> b^г, при r <0

9. Якщо r > s, тоді

а^г>а^s, якщо а>1

а^г<а^s, якщо 0<а<1

Ірраціональні рівняння

Для того, щоб розв'язати ірраціональне рівняння його приводять до рівнопотужньої системи, яка містить рівняння та нерівність.

Приклади

Самостійне розв’язання

1. : якщо а<0, рівняння не має коренів;

якщо а>0, рівняння рівносильне рівнянню f(х) = а²

: х+1 = 25; х = 24

Відповідь: х=24

=2

= 3

2. або

=х-1; х-10; х1;

7-х=(х-1)²; х=-2; х=3

Відповідь: х=3

= 5 –

3абоабо

: 3-х0

3-х=х²-5х-2; х=-1; х=5

Відповідь: х=-1

Показникова та логарифмічна функції, їх властивості та графіки

Властивості

Показникова функція

Логарифмічна функція

Функція виду у = а^х, де а — задане число, а > 0, нази­вається показниковою функцією

Функція виду у = log_a x, де а — задане число, а > 0, а ≠ 1 нази­вається логарифмічною функцією

a>1

0<a<1

a>1

0<a<1

1

D (у)

R

R

(0;+)

(0;+)

2

Е(у)

(0;+)

(0;+)

R

R

3

Парність

ні парна, ні непарна

ні парна, ні непарна

ні парна, ні непарна

ні парна, ні непарна

4

Нулі функції

х =0: у =1

х =0: у =1

у=0: х=1

у=0: х=1

5

Проміжки монотонності

зростає на всій області визначення

спадає на всій області визначення

зростає на всій області визначення

спадає на всій області визначення

6

Проміжки, на яких у>0

якщо х < 0, то у < 1

якщо х > 0, то у > 1

якщо х < 0, то у > 1

якщо х > 0, то у < 1

log_a x > 0, якщо х>1

log_a x > 0, якщо 0<х<1

7

Проміжки, на яких у<0

немає

немає

log_a x < 0, якщо 0<х<1

log_a x < 0, якщо х>1

Графік

Графіком показникової функції є крива, яка називається екс­понентою.