алгебра тригоном

Властивості тригонометричних функцій

Властивості

ФУНКЦІЯ

y=sinx

y= cosx

y =tgx

y =ctgx

1

D (у)

R

R

x, nZ

x, nZ

2

Е(у)

[-1;1]

[-1;1]

R

R

3

Парність

Непарна sin(-x)=-sinx

Парна cos(-x)= cosx

Непарна tg(-x)=-tgx

Непарна ctg(-x)=-ctgx

4

Періодичність, період

2

2





5

Нулі функції

n, nZ

, nZ

n, nZ

, nZ

6

Якщо х =0

sinx=0

cosx=1

tgx=0

невизначено

7

Проміжки, на яких у>0

(2n; +2n), nZ

(-),nZ

(),nZ

(),nZ

8

Проміжки, на яких у<0

(+2n; 2+2n), nZ

(),nZ

(-),nZ

(-),nZ

9

Проміжки зростання

[],nZ

[-+2n], nZ

(-),nZ

немає

10

Проміжки спадання

[],nZ

[2n; +2n], nZ

немає

(n, +n), nZ

11

Найменші значення

у=-1, якщо х= , nZ

у=-1, якщо х=, nZ

немає

немає

12

Найбільші значення

у

y=sinx

у=1, якщо х=, nZ

немає

немає

Найпростіші тригонометричні рівняння

sin x= a

cos x = a

tgx = a

1. Якщо а>1, коренів немає

2. Якщо а1:

Ці дві формули можна з’єднати в одну:

x = (-1)ⁿarcsin a +n, nZ

Приклад 1. sinx = .

х = (-1)ⁿ arcsin + πп, п Z.

х = (-1)ⁿ + πn, п є Z.

Приклад 2. sin х = - .

х = (-1)ⁿ arcsin + πп, п Z,

оскільки arcsin = - , тоді

х =(-1)ⁿ ·+ πn, nZ;

х = (-1)ⁿ⁺¹ + πп, п Z.

1. Якщо а>1, коренів немає

2. Якщо а1:

Ці дві формули можна з’єднати в одну:

x = ±arccos a +2n, nZ

Приклад 1. cos x =

х = ± arccos + 2πn, п Z.

х = ± + 2πп, п є Z.

Приклад 2. cos x = -.

х = ±arccos + 2πп, п Z, оскільки

arccos = π - arccos = π - = , тоді

x = ± + 2πn, n Z.

x= arctga+n, nZ

Приклад 1.

tg x =

х = arctg +πп,

х = + πп, nZ

Приклад 2.

tg x = -1

arctg (-1) = ,

х = + nπ, nZ

ctgx = a

x= arcctga+n, nZ

Приклад 1.

ctg x – = 0.

ctg х = ;

x = arcсtg +πп, nZ

x = + πn, nZ

Приклад 2.

ctgx= -1,

оскільки arcctg (-1) = π -arcctg 1 =

= π - =

х =+πп, nZ

a = -1

sin x=-1

x=-+2n,nZ

a = 0

sin x=0

x=n, nZ

a = 1

sin x=1

x=+2n,nZ

a = -1

cos x=-1

x=+2n, nZ

a = 0

cos x=0

x=+2n, nZ

a = 1

cos x=1

x=2n, nZ

Тригонометричні функції

Тригонометричні функції довільного кута

Радіана міра кутів і дуг

Тригонометричні функції числового аргументу

Градусом називається частина розгорнутого кута.

1º = 60', 1' = 60'', 1' =

1 радіан — центральний кут, який опирається на дугу, довжина якої дорівнює радіусу кола.

Залежність між радіанним і градусним вимірюванням кутів: 180° = π рад

n

– формула переходу від градусної

міри кута в радіанну

45° = 45 · рад = рад

q

– формула переходу від радіанної

міри кута до градусної.

рад = · =60°

Синусом числа α називається ордината точки Р_α, утвореної

пово­ротом точки

Р_α (1; 0) навколо початку координат

на кут в α раді­ан.

(позначається sinα)

Косинусом числа α називається абсциса точки Р_α, утвореної по­воротом точки Р_α (1; 0) навколо початку координат на кут в α радіан.

(позначається cos α)

Тангенсом числа α називається відношення синуса числа α до його косинуса.

(позначається tgα)

Котангенсом числа α називається

від­ношення косинуса числа α до його синуса. (позначається ctgα)

Знаки тригонометричних функцій

sin α

cos α

tg α , ctg α

Таблиця значень синуса, косинуса, тангенса і ко­тангенса деяких чисел

Тригонометричне коло

Приклад застосування

cos 225⁰ = -

sin 240⁰ = -

cos 120⁰ = -

sin 120⁰ =

cos 180⁰ = -1

sin 90⁰ = 1

Основні формули тригонометрії

Співвідношення між тригонометричними функціями одного аргументу

Тригонометричні функції подвійного аргументу

Вираз тригонометричних функцій через тангенс половинного кута

cos²+sin²=1 tgctg=1

ctg

sin2α = 2sinαcosα

cos2α = cos²α – sin²α

cos2α = 1-2 sin²

cos2α =2 cos²-1

Формули тригонометричних функцій суми і різниці двох чисел

Тригонометричні функції половинного аргументу

Формули перетворення добутку у суму

sin(α + β) = sinαcosβ + cosαsinβ

sin(α – β) = sinαcosβ – cosαsinβ

cos(α – β) = cosαcosβ + sinαsinβ

cos(α + β) = cosαcosβ – sinαsinβ 

Формули перетворення суми у добуток

Щоб записати тригонометричні функції чисел виду через функції кута , використовують формули зведення або правило: перед функцією ставиться той знак, який має вихідна функція ( ); якщо кут то функція змінюється на кофункцію, а якщо кут , то заміна не виконується.