Задачи для самостоятельного решения

1. Найти такую кривую, проходящую через точку , чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной в три раза.

Ответ: .

2. Найти кривую, для которой площадь , ограниченная кривой, осью и двумя ординатами , является данной функцией от :

.

Ответ: , (гипербола).

3. Материальная точка массой в 1 г движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента и обратно пропорциональной скорости движения точки. В момент сек скорость равнялась 50 см/сек, а сила – 4 динам. Какова будет скорость спустя минуту после начала движения?

Ответ: см/сек.

4. Доказать, что кривая, .обладающая тем свойством, что все ее нормали проходят через постоянную точку, есть окружность.

5. Пуля входит в доску толщиной см со скоростью м/сек, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью м/сек. Считая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти время движения пули через доску.

Ответ: сек.

6. Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления воды, которое пропорционально скорости корабля. Начальная скорость корабля 10 м/сек, скорость его через 5 сек станет 8 м/сек. Когда скорость уменьшится до 1 м/сек ?

Ответ: сек.

7. Доказать, что кривая, угловой коэффициент касательной которой в любой точке пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола.

8. По закону Ньютона, скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температурой тела и температурой воздуха . Если температура воздуха равна и тело в течение 20 мин охлаждается от до , то через сколько времени его температура понизится до ?

Ответ: мин.

9. Найти кривую, для которой угловой коэффициент касательной в какой-либо точке в раз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.

Ответ: .

10. Определить путь , пройденный телом за время , если его скорость пропорциональна проходимому пути и если тело проходит 100 м в 10 секунд и 200 м в 15 секунд.

Ответ: .

11. Дно резервуара, вместимость которого 300 л, покрыто солью. Допуская, что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли на 3 л воды) и что данное количество чистой воды растворяет кг соли в одну минуту, найти, сколько соли будет содержать раствор по истечении 1 часа.

Ответ: 18,1 кг; , где – коэффициент пропорциональности.

12 Некоторое количество нерастворимого вещества содержит в своих порах 10 кг соли. Подвергая его действию 90 л воды, нашли, что в течение 1 часа растворилась половина содержавшейся в нем соли. Сколько соли растворилось бы в течение того же времени, если бы количество воды было удвоено? Скорость растворения пропорциональна количеству нерастворенной соли и разности между концентрацией раствора в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг на 3 л).

Ответ: 5,2 кг; .

13. Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок касательной к кривой, заключенной между осями координат, делится в точке касания пополам.

Ответ: .

14. Некоторое количество вещества, содержащее 3 кг влаги, было помещено в комнате вместимостью 100 м³, воздух которой первоначально имел влажность . Насыщенный воздух при той же температуре содержит 0,12 кг влаги на 1 м ³. Если в течение первых суток вещество потеряло половину своей влаги, то сколько влаги в нем останется по истечении вторых суток?

Указание. Влага, содержащаяся в пористом веществе, испаряется в окружающее пространство со скоростью, пропорциональной количеству влаги в данном веществе, а также пропорциональной разности между влажностью окружающего воздуха и влажностью воздуха насыщенного.

Ответ: 0,82 кг; .

15. Некоторое количество нерастворимого вещества, содержащее в своих порах 2 кг соли, подвергается действию 30 л воды. Через 5 мин 1 кг соли растворяется. Через сколько времени растворится первоначального количества соли?

Ответ: 32,2 мин.

16. Кирпичная стена имеет 30 см толщины. Найти зависимость температуры от расстояния точки от наружного края стены, если температура равна на внутренней и на внешней поверхности стены. Найти также количество тепла, которое стена (на 1 м ²) отдает наружу в течение суток.

Указание. В силу закона Ньютона скорость , с которой теплота распространяется через площадку ,перпендикулярную оси , равна

,

где – коэффициент теплопроводности данного вещества,

– температура, – время, – площадь ; .

Ответ: , где .