Задачи для самостоятельного решения

1.Найти такую кривую, проходящую через точку, чтобы угловой коэффициент касательной в любой ее точке равнялся ординате этой точки, увеличенной в три раза.

Ответ: .

2. Найти кривую, для которой площадь ,ограниченная кривой, осьюи двумя ординатами,является данной функцией от:

.

Ответ: ,(гипербола).

3.Материальная точка массой в 1 г движется прямолинейно под действием силы, прямо пропорциональной времени, отсчитываемому от момента и обратно пропорциональной скорости движения точки. В момент секскорость равнялась 50 см/сек, асила – 4динам.Какова будет скорость спустя минуту после начала движения?

Ответ: см/сек.

4. Доказать, что кривая, .обладающая тем свойством, что все ее нормали проходят через постоянную точку, есть окружность.

5. Пуля входит в доску толщиной смсо скоростьюм/сек, а вылетает из доски, пробив ее, со скоростью м/сек.Считая, что сила сопротивления доски движению пули пропорциональна квадрату скорости движения, найти время движения пули через доску.

Ответ: сек.

6. Корабль замедляет свое движение под действием силы сопротивления воды, которое пропорционально скорости корабля. Начальная скорость корабля 10 м/сек,скорость его через 5секстанет 8м/сек. Когда скорость уменьшится до 1м/сек?

Ответ: сек.

7.Доказать, что кривая, угловой коэффициент касательной которой в любой точке пропорционален абсциссе точки касания, есть парабола.

8.По закону Ньютона, скорость охлаждения какого-либо тела в воздухе пропорциональна разности между температуройтела и температурой воздуха. Если температура воздуха равнаи тело в течение 20минохлаждается отдо, то через сколько времени его температура понизится до?

Ответ: мин.

9.Найти кривую, для которой угловой коэффициент касательной в какой-либо точке враз больше углового коэффициента прямой, соединяющей ту же точку с началом координат.

Ответ: .

10.Определить путь ,пройденный телом за время , если его скорость пропорциональна проходимому пути и если тело проходит 100мв 10 секунд и 200мв 15 секунд.

Ответ: .

11.Дно резервуара, вместимость которого 300л,покрыто солью. Допуская, что скорость растворения соли пропорциональна разности между концентрацией в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1 кг соли на 3 л воды) и что данное количество чистой воды растворяеткг соли в одну минуту, найти, сколько соли будет содержать раствор по истечении 1 часа.

Ответ: 18,1 кг; , где– коэффициент пропорциональности.

12Некоторое количество нерастворимого вещества содержит в своих порах 10кгсоли. Подвергая его действию 90лводы, нашли, что в течение 1 часа растворилась половина содержавшейся в нем соли. Сколько соли растворилось бы в течение того же времени, если бы количество воды было удвоено? Скорость растворения пропорциональна количеству нерастворенной соли и разности между концентрацией раствора в данный момент и концентрацией насыщенного раствора (1кгна 3л).

Ответ: 5,2 кг; .

13.Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок касательной к кривой, заключенной между осями координат, делится в точке касания пополам.

Ответ: .

14.Некоторое количество вещества, содержащее 3кг влаги, было помещено в комнате вместимостью 100м³, воздух которой первоначально имел влажность. Насыщенный воздух при той же температуре содержит 0,12кгвлаги на 1 м ³.Если в течение первых суток вещество потеряло половину своей влаги, то сколько влаги в нем останется по истечении вторых суток?

Указание. Влага, содержащаяся в пористом веществе, испаряется в окружающее пространство со скоростью, пропорциональной количеству влаги в данном веществе, а также пропорциональной разности между влажностью окружающего воздуха и влажностью воздуха насыщенного.

Ответ: 0,82 кг; .

15.Некоторое количество нерастворимого вещества, содержащее в своих порах 2кгсоли, подвергается действию 30лводы. Через 5мин1кг соли растворяется. Через сколько времени растворитсяпервоначального количества соли?

Ответ: 32,2 мин.

16.Кирпичная стена имеет 30смтолщины. Найти зависимость температуры от расстояния точки от наружного края стены, если температура равнана внутренней ина внешней поверхности стены. Найти также количество тепла, которое стена (на 1 м ²)отдает наружу в течение суток.

Указание. В силу закона Ньютона скорость , с которой теплота распространяется через площадку,перпендикулярную оси,равна

,

где –коэффициент теплопроводности данного вещества,

– температура,– время, – площадь;.

Ответ: , где.