3.11. Остовы графа. Построение минимального остова

Напомним, что подграф графа, называется остовным подграфом, если.

Определение.Остовом обыкновенного графа называется его остовный подграф, являющийся деревом.

Пусть - обыкновенный граф. Упорядочим множество его вершин. Определимматрицу Кирхгофа графа, полагая:

,

где - матрица смежности графа, отвечающая данному упорядочению вершин.

Можно показать, что матрицы Кирхгофа обладают следующим свойством: алгебраические дополнения всех элементов любой из матриц Кирхгофа графа равны между собой.

Утверждение.Число остовов в связном неодноэлементном обыкновенном графе равно алгебраическому дополнению любого элемента его матрицы Кирхгофа.

Доказательство этого утверждения опустим.

Определение.Взвешенным графом будем называть совокупность объектов , где тройка - граф и- отображение, называемое весовым.

Число называетсявесомребра, число-весомграфа.

Определение.Остов связного взвешенного графа назовем минимальным остовом, если для любого остова выполнено неравенство .

Рассмотрим задачу о нахождении минимального остова в связном взвешенном графе.

Теорема (алгоритм Краскала). Пусть - связный взвешенный граф. - последовательность его остовных подграфов, заданная индуктивно следующим образом:

1. остовный подграф, множество ребер которого пусто.

2. Пусть - остовный подграф с множеством ребер .Тогда - остовный подграф с множеством ребер , где ребро выбирается из множества так, что выполнены два условия: а) добавление ребра не приводит к образованию циклов; б) из ребер, удовлетворяющих условию а), ребро обладает наименьшим весом.

Тогда последним элементом последовательности является минимальный остов графа .

Доказательство теоремы опустим.

Замечания.1. Если граф несвязен, то по алгоритму Краскала строится остовный лес.

2. Если граф невзвешен, то, присваивая всем ребрам одинаковые веса, мы можем применить алгоритм Краскала для построения остова (остовного леса).

Пример 1.Построить остов минимального веса графас множеством вершин ; множеством ребер; отображением инцидентности,,,,,,,,и весовым отображением,,,,,,,.

Согласно алгоритму Краскала строим последовательность остовных подграфов:

с пустым множеством ребер;

с множеством ребер;

с множеством ребер;

с множеством ребер;

с множеством ребер;

с множеством ребер.

Добавление к графу любого из оставшихся ребер графаведет к образованию цикла. Таким образом, подграфcмножеством ребер, - минимальный остов, вес которого равен.

49