3.9. Деревья и леса

Определение.Граф без циклов, называется ациклическим графом или лесом.

Определение.Связный ациклический граф называется деревом.

Каждая компонента связности леса – дерево, следовательно, для -связного леса существует дизъюнктное разбиение на деревьев.

Пример 1. Граф не является деревом, не является лесом. Граф - дерево. Граф - лес.

Лемма. Если граф – дерево, то каждое его ребро является мостом.

Доказательство.В параграфе 3.6 было доказано, что если ребро графа не содержится ни в одном цикле, то оно является мостом. Дерево граф ациклический, следовательно, каждое его ребро мост.■

Теорема (основная теорема о деревьях). Для графа следующие утверждения равносильны:

1. Граф - дерево.

2. ациклический и .

3. связный и .

4. связный и каждое его ребро является мостом.

5. Любые две вершины графа можно соединить, притом единственной, простой цепью.

6. ациклический, и добавление к нему нового ребра приводит к образованию единственного простого цикла.

Доказательство.Доказательство проведем по следующей схеме:.

. Индукцией по числу ребер проверим, что для любого дерева выполняется равенство.

Базис индукции.Пусть, тогда, и равенствовыполнено.

Индуктивный переход.Предположим, что требуемое равенство выполняется для любого дерева с числом ребер меньшим либо равным. Докажем, что оно справедливо и для дерева с числом ребер. Удалим из графапроизвольное ребро .Согласно лемме, ребро - мост. По теореме о мостах. Следовательно, графсостоит из двух компонент связности,и , каждая из которых – дерево с числом ребер меньшим либо равным. Для каждой компоненты связности справедливо предположение индукции, т.е. выполнены равенстваи. Складывая эти равенства почленно, получим:. Или.

. Докажем, что если граф ациклический и, то граф связный. Будем рассуждать от противного, т.е. предположим, что найдется ациклический граф, число ребер которого на единицу меньше числа вершин, который связным не является. Пусть,, - число компонент связности графа. Каждая компонента связности - дерево. Переходуже доказан, следовательно, для каждой компоненты связностиможем записать:. Просуммировав по, получим:

.

Или

.

Так как , то пришли к противоречию с условием. Следовательно, наше предположение было неверным.

. Докажем, что если граф связный и, то каждое его ребро является мостом. Будем рассуждать от противного. Предположим, что найдется связный граф, такой что, в котором есть ребро , не являющееся мостом. Тогда графсвязный и

.

То есть для связного графа выполняется условие, что противоречит следствию теоремы о знаке цикломатического числа (см. параграф 3.7).

. Из связности графа вытекает, что любые две его вершины можно соединить маршрутом, и, следовательно, простой цепью. Докажем, что эта простая цепь единственна. Доказательство проведем от противного. Предположим, что найдется связный граф, все ребра которого - мосты, такой, что в нем есть две вершиныи , соединенные двумя различными простыми цепямии. Поскольку цепииразличны, то имеется ребро , входящее в цепьи не входящее в цепь.

Пусть и- фрагменты цепи. Склеим инвертированный фрагмент, цепьи инвертированный фрагмент. Получим на графе- маршрут, не содержащий ребра . Из этого маршрута выделим-простую цепь и склеим ее с цепью . В результате получим цикл, содержащий , а это противоречит тому, что ребро - мост.

. Пусть для графавыполнено условие 5.

Проверим сначала, что граф не содержит циклов. Будем рассуждать от противного. Предположим, что на графеимеется цикл. Пусть - одно из ребер этого цикла и вершиныи - концы этого ребра. Тогда- простая цепь, соединяющая вершиныи . Обозначим ее. Удалим из графаребро . Поскольку ребра циклов не являются мостами и графсвязный, то графтакже будет связным. Следовательно, на графесуществует- маршрут. Выделим из этого маршрута-простую цепь и обозначим ее. Таким образом мы показали, что на графеесть две простые цепи, соединяющие вершиныи :и, что противоречит условию 5.

Покажем, что добавление к графу нового ребра приводит к образованию, притом единственного, цикла. Возьмем на графедве произвольные вершиныи и соединим их новым ребром; получим граф. По условию на графе имеется единственная простая-цепь. Склеив ее с цепью, получим на графепростой цикл. Докажем, что этот цикл единственный. Предположим, что при добавлении ребраобразовалось два простых цикла. Тогда, удалив из каждого из них ребро, получим на графедве простые-цепи, а наличие двух-цепей противоречит условию.

. Будем рассуждать от противного, т.е. предположим, что существует несвязный граф, для которого выполнено условие 6. Возьмем на этом графе две вершины, лежащие в разных компонентах связности, и соединим их ребром. В результате образуется граф, для которого реброявляется мостом и, следовательно, не содержится ни в одном цикле. Таким образом, добавление ребране привело к образованию цикла, что противоречит условию 6.■

Следствие 1. Неодноэлементное дерево имеет не менее двух висячих вершин.

Доказательство.Рассмотрим произвольное дерево, имеющее не менее двух вершин. Представим множество его вершинв виде, где- множество висячих вершин этого дерева. Тогда

.

Но , поэтому

.

Откуда . ■

Следствие 2. Если граф - -связный лес, то.

Последнее следствие рекомендуем доказать самостоятельно.