Глава вторая 2. Линейные и круговые диаграммы.

2.1. Построение дуги окружности по хорде и вписанному углу.

Из курса геометрии известно, что вписанным углом называется угол, вершина которого находится на окружности, а стороны являются хордами.

Вписанный угол измеряется половиной дуги, на которую он опи­рается. Так, AВС= (рис. 4.11, а) измеряется ADC/2, а ADC дугой АВС/2. Сумма ABC+АDС=.

Угол EDC является дополнительным до  к ADC, поэтому EDC=.

Какое бы положение ни занимала точка D в интервале от A до С,

угол между продолжением хорды AD (т. е. линией DE) и хордой DC остается неизмен­ным и равным .

Угол между продолжением хорды АС и касательной (полукасательной) к окружности в точке С также равняется углу .

Центр окружности О на­ходится на пересечении пер­пендикуляра к середине хор­ды и перпендикуляра к касательной (рис. 4.11, б).

Из изложенного следует, что если заданы хорда и вписанный угол , то для нахождения центра окружности необходимо:

1) провести перпендикуляр к середине хор­ды;

2) под углом  к продолжению хор­ды провести прямую, которая будет яв­ляться касательной к окружности;

3) провести перпендикуляр к касатель­ной; пересечение перпендикуляра к хор­де и перпендикуляра к касательной даст центр окружности.

2.2. Уравнение дуги окружности в векторной форме записи.

Построения, аналогичные построениям рис. 4.11, а, могут быть выполнены и на комплексной плоскости. В этом случае все хорды, например СА, DA, CD, являются векторами.

На комплексной плоскости рис. 4,12 совместим хорду с осью + 1. Если угол >0, то от продолжения хорды его откла­дывают против часовой стрелки; если  < 0, угол откладывают по часовой стрелке.

Обозначим и . Тогда

. (4.31`)

Вектор опережает векторна угол. Пусть модуль вектора будет в k раз больше модуля вектора . Тогда

(4.31")

Если k=0, то =0 и . При k= и =0. Под­ставив (4.31") в (4.31`), получим

или

(4.31```)

Уравнение (4.31"') называют уравнением дуги окружности в век­торной форме записи.

При изменении коэффициента k от 0 до меняются оба вектораи, но так, что угол  между ними остается неизменным, а сумма векторов равна вектору . Конец вектора скользит по дуге окруж­ности, хордой которой является вектор. Поэтому можно сказать, что дуга окружности является геометрическим местом концов вектора .

Рабочей частью окружности, или рабочей дугой; является та часть окружности, которая по отношению к хорде лежит по обратную сто­рону от полукасательной (рабочая дуга на рис. 4.12 вычерчена сплош­ной линией, нерабочая—пунктиром).

Рабочая дуга меньше половины окружности при |  | < 90° и больше половины окружности при  > 90°.

2.3. Круговые диаграммы.

Из §3.4 известно, что синусоидально изменяющиеся функции времени (токи, напряжения) могут быть изо­бражены векторами на комплексной плоскости. Если процесс в элек­трической цепи описывается уравнением, по форме тождественным уравнению (4.31'"), то геометрическим местом концов вектора тока (напряжения), выполняющего в уравнении электрической цепи ту же роль, что и вектор в уравнении (4.31"'), является окружность.

Под круговой диаграммой тока или напряжения понимают дугу окружности, являющуюся геометрическим местом концов вектора тока (напряжения) при изменении по модулю какого-либо сопротивления электрической цепи и сохранении неизменными остальных сопротив­лений, частоты и э. д. с. источников энергии.

С помощью круговых диаграмм производят графический анализ работы электрических цепей.