3.11. Разложение сложной дроби на простые составляющие

Из курса матема­тики известно, что дробь

при условии, что n<m и при том, что полином М (x) = 0 не имеет кратных кор­ней, может быть представлена в виде суммы простых дробей:

, (*) или,

где x_k--корни уравненияm(x)=0.

Для определения коэффициента A₁умножим обе части уравнения (*) на (x-x₁). Получим:(**)

Рассмотрим выражение (**) при х стремящемся к х₁. Правая часть уравнения дает А₁, левая часть представляет собой неопределенность, так как множи­тель (x-x₁) при хх₁ дает нуль и знаменатель М(х) при х=х₁тоже дает нуль [х₁есть корень уравнения

М (х)=0].

Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя. С этой целью производную от числителя разделим на производную от знаменателя и найдем предел дроби:

где М'(х) — производная от М(х) по х;

М'(х₁)— значение М'(х) при х=х₁, N (х₁)— значение N (х) при х=х₁

Следовательно, при х->х1получаем уравнение: .

Аналогично,

Таким образом:

Или .

3.12. Дополнения к операторному методу

1. Для перехода от изображения F(p) к функции времени f(t) может быть использовано обратное преобразование Лапласа:

(а)

Функция F (р) аналогична в области Re(p)>v и стремится к нулю при |р|.

При практическом использовании этой формулы интеграл по бесконечной прямой, параллельной оси ординат, заменяют контурным интегралом, охватывающим все полюсы функции F(p):

(б)

Полюсами называют значения р, при которых F(p) обращается в бесконечность. В случае, когда F (р) = N (р)/М (р), полюсами явля­ются корни уравнения М(р)=0.

В теории функций комплексного переменного доказывается, что правая часть формулы (б) равна сумме вычетов (Res), подынтегральной функции во всех ее полюсах, то есть:

Вычетом функции в некотором полюсе называют величину, на которую уменьшается разделенный на 2j контурный интеграл от этой функции, когда контур при его стягивании пересечет этот полюс. Но вычет функциив простом полюсе p_kравен. Поэтому

2. Запишем формулу разложения при наличии кратных корней. Положим, что уравнение М (р)=0 имеет q простых корней (р₁, р₂,..., р_q), корень р_rкратности r и корень p_sкратности s. В этом случае формулу разложения запишем следующим образом:

Вывод: Если в расчёте напряжения на С или тока в L в начальных условиях не равных нулю, то в таком расчёте фиктивные операторные источники начальных условий необходимо домножать на i.:;.

3.13 Практическое приложение к расчету переходных процессов операторным методом

3.1^* Рассчитать ток в цепи (рис.3.12) операторным методом после размыкания ключа, если U₀=20 B; r=10 Ом; L=0,5 Гн.

Решение:

Записываем уравнение по 2-му закону Кирхгофа для операторных изображений токов и напряжений:

I(p)(2r+Lp)-i(0-)L=U(p). В этом уравнении:

i(0-)=U₀/r=2A; U(p)=U₀/p=20/p.

С учетом числовых данных, имеем:

Для перехода к оригиналу тока используем теорему разложения. Обозначим числитель дроби М(р), а знаменатель – N(p).

Корни знаменателя определяем, приравнивая N(p) к нулю:p(20+0,5p)= 0;p₁= 0;p₂= - 40.

Производная знаменателя: .

Подставляем значения корней в М(р) и:

Отсюда ток равен:.

3.2. U₀=50 B; r=100 Ом; С=100 мкФ; Рассчитать ток в цепи (рис. 3.13) и напряжение на конденсаторе после размыкания ключа, используя операторный метод.

3.3. Найти ток в цепи (рис. 3.14) операторным методом, если U₀= 120 B; r = 40 Ом; L= 0,6 Гн.

3.4. Рассчитать выходное напряжение четырёхполюсника (рис.3.15,а), если на входе напряжение спадает в соответствии с графиком (рис. 3.15,б) и качественно построить график u₂(t).

3.5. Получить формулу для u₂(t) в общем виде, если на входе цепи (рис. 3.16) действует напряжениеu₁(t)=U₀e^-t. Качественно построить графикu₂(t).

3.6.^* Рассчитать напряжение на конденсаторе (рис.3.17) при замыкании ключа. Дано:r₁=100 Ом;L=0,1 Гн; С=20 мкФ;r₂=50 Ом;U₀=150B. Задачу решить операторным методом.

Решение:В данном случае удобнее всего привести начальные условия к нулевым. С этой целью определим напряжение на разомкнутом ключе.

Это напряжение будет равно U_c(0), то есть,

u_аб=u_c(0)=150 B.

Находим операторное сопротивление цепи относительно зажимов а – б. (Источник при этом закорачивается).

Учитывая, что операторное изображение напряжения на разомкнутом ключе равно:

U_аб(p)=U_аб/p=U₀/p,

Записываем выражение для тока I₃(p):

Подстановка численных значений приводит к выражению:

Оригинал тока i₃₍t) ищем по теореме разложения. Обозначим числитель дроби –М(р), а знаменательN(p):

Находим корни знаменателя:

Производная знаменателя:

Подставляем корни в М(р) и

Ток i₃(t) то теореме разложения будет равен:

Последнее выражение можно преобразовать, используя формулу Эйлера:

Напряжение на конденсаторе, которое необходимо найти по условию задачи:

Для расчёта кривой u_c(t) удобнее градусы перевести в радианы и записать формулу в виде:

Таблица значений u_c(t):

t.10-3, c	0	0,5	1	1,5	2	2,5	3	3,5	4
uc, B	150	95,1	63,3	48,6	43,5	43,1	44,5	46,3	47,8

Примечание. Хотя, судя по формулеu_c(t), переходный процесс должен иметь колебательный характер, однако на графике колебаний не замечено, что объясняется значительным по величине коэффициентом затухания (-1000) по сравнению с частотой колебаний (707). При этом оказывается, что время переходного процессаменьше периода колебаний

Для того, чтобы колебания были выражены в кривой переходного процесса, необходимо, чтобы коэффициент затухания был в 2 – 3 раза меньше, чем угловая частота колебаний.

3.7. Рассчитать ток, потребляемый цепью (рис. 3.19) от источника, после размыкания ключа операторным методом, если: U₀=20B;r₁=20 Ом;r₂=20 Ом;L=0,05 Гн; С=100 мкФ.

3.8. Найти u_L(t) (рис. 3.20) после размыкания ключа операторным методом, еслиU₀=150B;r=75 Ом;L=0,01 Гн; С=20 мкФ.

3.9. Напряжение на входе цепи (рис.3.21) u=120sin(314t+90⁰). Параметры цепи: r=20 Ом; L=0,1 Гн. Рассчитать ток в цепи после размыкания ключа операторным методом.

3.10. Рассчитать ток и напряжение на конденсаторе (рис.3.22) операторным методом, если u=200sin(314t+45⁰),B;r=100 Ом; С=120 мкФ.

3.11. Рассчитать напряжение на конденсаторах в цепи (рис. 3.23), если:U₀=100B;r=100 Ом; С₁=С₂=100 мкФ.

Примечание: Начальное значение напряжения на конденсаторе, последовательно к которому подключён рубильник равно нулю.