7.7. Включение rlc-цепи на постоянное напряжение

Рассмотрим переходный процесс в цепи второго порядка на примере простейшей цепи (рис.1.21).

Если цепь содержит хотя бы один емкостный элемент, то составленные дифференциальные уравнения решаются относительно напряжения на этом элементе.

Начальные условия нулевые: ,.

Принужденные составляющие: u_cпр = U₀ , i_пр = 0.

Уравнение переходного процесса с учетом того, что имеет вид:

;

.

Видим, что составленное дифференциальное уравнение второго порядка.

Его характеристическое уравнение:

,

или

.

Тогда корни характеристического уравнения равны:

.

Но можно дифференциальное уравнение и не составлять, а воспользоваться тем же приемом, что и для цепей первого порядка, то есть воспользоваться условием:

Z(p) = 0:

или после преобразований:

.

Откуда видно, что характеристическое уравнение, полученное из условия Z(p) = 0, имеет тот же вид, что и характеристическое уравнение, полученное из дифференциального.

Дальнейшее решение можно проделать по одному из трех вариантов.

1. Если обозначить =, то приD > 0:

,

где и р₂ - действительные числа и они меньше нуля.

Тогда решение для напряжения находят в виде:

.

Вэтом решении две неизвестные постоянные интегрирования А₁ и А₂, поэтому нужно вспомогательное уравнение для определения и. Пусть это будет ток:

.

При решения для тока и напряжения примут вид:

Из второго уравнения получаем:

.

Подставим найденное значение А₁ в первое уравнение, получим:

,

отсюда

или .

Тогда:

.

Напряжение на индуктивности можно найти по формуле:

.

Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D > 0 приведены временные графики: u_c(t) - на рис. 1.22, i(t) - на рис. 1.23, u_L(t) - на рис. 1.24.

2. Если D < 0, то . Тогда корни характеристического уравненияибудут комплексные. Представим их в виде:

,

где ,.

Вэтом случае решение следует искать в виде:

;

.

Из начальных условий, при определяем А и. Для этого составляем и решаем уравнения:

Покажем, что здесь также можно использовать решение из первого случая:

.

Рассмотрим только свободную составляющую:

=

,

где .

Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D < 0 временные графики приведены: u_c(t) - на рис. 1.25, i(t) - на рис. 1.26, u_L(t) - на рис. 1.27.

3. Если D = 0, то , и корни будут одинаковыми:

.

Решение следует искать в виде:

;

Из начальных условий, приопределяем А₁ и А₂:

Построим возможные временные графики переходных процессов. Для случая D = 0 временные графики приведены: u_c(t) на - рис. 1.28, i(t) - на рис. 1.29, u_L(t) - на рис. 1.30.

7.8. Расчет переходных процессов в цепях второго порядка классическим методом

Решим задачу анализа для цепи (рис. 1.31) при замыкании ключа. Решение проведем без составления дифференциальных уравнений.

Начальные условия до замыкания ключа. При :

После замыкания ключа призаданная схема примет вид (рис. 1.32). Откуда следует:

При исходная схема примет вид (рис. 1.33).

Принужденные токи и напряжения в этом случае равны:

.

Для нахождения корней характеристического уравнения источник исключаем, разрываем, например, ветвь с индуктивностью. Схема примет вид (рис. 1.34)

Относительно точек 1 и 2 (рис. 1.35) найдем и, приравнивая его нулю, составим уравнение для определения корней; убеждаемся, что оно второго порядка:

;

;

().

Пусть корни характеристического уравнения действительные и равны и. Тогда напряжение на конденсаторе и его ток соответственно равны:

При можно определить постоянные интегрированияи. В этот момент времени составим и решим следующие уравнения:

Таким образом, найдены А₁ и А₂.

Аналогично можно определить напряжение на индуктивности и ее ток:

При можно определить В₁ и В₂:

Ток в первой ветви можно определить по формуле первого закона Кирхгофа:

.

Хотите посмотреть временные графики переходных процессов в аналогичной цепи второго порядка? Щелкните здесь или здесь