устойчивость

1.1.Устойчивость стержня, шарнирно опертого по концам. Формула

1.3.Пределы применимости формулы Эйлера. Равновесные формы в

1.9.Метод конечных разностей. Упругая шарнирная цепь. Метод

1.10.Применение интегральных уравнений. Приближенное

2.3.Влияние формы сечения. Случаи двутаврового и прямоугольного

2.6.Одновременное действие распределенной и сосредоточенной

В В Е Д Е Н И Е

Расчет на устойчивость, которой посвящен спецкурс, имеет первостепенное значение для элементов конструкций, представляющих собой сравнительно длинные и тонкие стержни, тонкие пластины и оболочки. Напомним основные понятия о видах равновесия.

Равновесие называется устойчивым, если при любом малом отклонении от положения равновесия тело возвращается в исходное положение после устра­ нения причины, вызвавшей это отклонение. Равновесие называют неустойчи­ вым, если при любом малом отклонении от положения равновесия тело не воз­ вращается в исходное положение, а все далее отклоняется от него. При безраз­ личном равновесии тело, будучи отклоненным, остается в равновесии и в новом положении.

Основы современной математической теории устойчивости движения соз­ даны в конце XIX в. выдающимся русским математиком и механиком А. М. Ляпуновым. Чтобы иметь представление о том, в чем заключается отли­ чие приведенных выше определений состояния равновесия от введенного Ля­ пуновым, сформулируем его применительно к некоторому физическому телу.

Пусть С - произвольное положительное число. Если для любого С, каким бы малым оно не было, можно выбрать такое малое положительное число В (зависящее от С), что при любых начальных отклонениях шарика от положе-

впроцессе его колебательных движений.

Вкурсе сопротивления материалов было изучено устойчивое состояние продольно сжатого стержня сосредоточенной силой. При значении этой силы меньше некоторой критической величины стержень сохранял прямолинейное положение. При достижении этой величины и дальнейшее ее превышение, стержень приобретал криволинейную форму. Расчет критической продольной нагрузки мы проводили путем решения дифференциального уравнения изогну­ той оси балки, получая известную формулу Эйлера. Необходимо помнить, что эта формула справедлива только в пределах выполнения закона Гука. В других

случаях расчет на устойчивость производился по формуле Ясинского.

Вданном спецкурсе помимо метода Эйлера и Ясинского мы познакомимся

сдругими методиками и принципами расчета критической сжимающей силы и приступим к решению более сложных задач, которые в курсе сопротивления материалов не рассматриваются. Настоящие методические указания составлены по материалам монографии Вольмира А. С. «Устойчивость деформируемых систем» [3].

1. У С Т О Й Ч И В О С Т Ь СЖАТЫ Х С Т Е Р Ж Н Е Й В ПРЕДЕЛА Х

УП Р У Г О С Т И

1.1.Устойчивость стержня, шарнирно опертого по концам.

Формула Эйлера

Определим критическую сжимающую нагрузку для стержня с прямой осью и постоянным по длине поперечным сечением (рис. 1.1.1, а). Пусть один конец стержня О имеет шарнирно неподвижную опору, а второй конец а - шарнирно подвижную. Будем считать, что сжимающая сила Р приложена в центре тяжести сечения и во все время нагружения направлена строго по вер­ тикали. Расположим оси координат, как показано на рис. 1.1.1.

Рис. 1.1.1. Сжатый стержень, шарнирно опертый по концам

При малых значениях силы Р ось стержня остается прямой и в стержне воз­ никают напряжения сжатия а=Р/А, где А - площадь поперечного сечения. Когда, постепенно возрастая, сила Р достигнет критического значения, то наря­ ду с прямолинейной формой равновесия должна иметь место другая, ис­ кривленная форма, как изображено на рис. 1.1.1, б. Мы предполагаем, что пе­ реход от прямолинейной формы к изогнутой происходит без изменения вели­ чины силы Р, т. е. при постоянной длине осевой линии. Но тогда точка а долж­ на получить некоторое смещение А; можно сказать, что при малых прогибах А пропорционально квадрату стрелы прогиба упругой линии и, таким образом, является величиной второго порядка малости. В дальнейшем на рисунках ус­ ловно будет приниматься, что точка а вообще не смещается по вертикали.

Выпишем выражение для кривизны изогнутой оси стержня:

(1.1.1)

где / - момент инерции поперечного сечения, М - изгибающий момент в не­ котором сечении.

Общее выражение для кривизны имеет вид

(1.1.2)

где v - прогиб в сечении х;

Будем считать здесь прогибы малыми по сравнению с длиной стержня.

(1.1.4) Получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси в виде

(1.1.5)

Как видно из рис. 1.1.1, а - б, при изгибе стержня, соответствующим сплош­ ной линии, прогиб v положителен, а вторая производная отрицательна; таким образом, в уравнение типа (1.1.5) прогиб и вторая производная входят с раз­ ными знаками. Исходя из этого, мы, независимо от правила знаков для х иМ, приходим к одному и тому же уравнению.

В курсах сопротивления материалов последующее решение задачи ведут исходя из уравнения второго порядка типа (1.1.5). Здесь мы перейдем от (1.1.5) к уравнению четвертого порядка, так как это придаст решению более общий характер и позволит распространить его на другие граничные условия.

Принимая EI=const, продифференцируем (1.1.5) дважды по х; тогда получим:

(1.1.6)

Это соотношение можно также непосредственно получить, исходя из из­ вестного уравнения упругой линии

(1.1.6а)

вводя фиктивную поперечную нагрузку интенсивностью q. Рассмотрим де­ формированный элемент стержня, находящийся под действием сжимающих усилий Р (рис. 1.1.2, а); равнодействующая этих усилий, направленная вдоль нормали, будет по рис. 1.1.2, б равна {—Р d2dv/dx2) dx, а величина q равна q=-Pd2v/dx2; отсюда приходим к (1.1.6).

Введем обозначение

(1.1.7)

тогда уравнение (1.1.6) примет вид

(1.1.8)

Однородному линейному дифференциальному уравнению (1.1.6) соот­ ветствует характеристическое уравнение s2(s2+k2) = 0; корни его равны sx = s2 = 0, s3А = ik. Следовательно, интеграл уравнения (1.1.6) будет

Рис. 1.1.2. Интенсивность поперечной «нагрузки», вызываемой сжимающими силами

Для решения задачи существенно то обстоятельство, что корни s3 и s4 полу­ чаются мнимыми; это в свою очередь объясняется тем, что в уравнение типа (1.1.5) величины v и d2v/dx2 входят с разными знаками.

Решение (1.1.9) должно удовлетворять граничным условиям, которые в дан­ ном случае имеют вид

где п - произвольное целое число. Отбрасывая решение kl = 0, как не от­ вечающее исходным данным задачи, находим:

(1.1.14)

или, по (1.1.6),

Изменяя число п, получаем последовательный ряд значений силы Р, которым соответствуют различные искривленные равновесные формы.

Под критической силой мы условились понимать силу, при которой прямо­ линейная форма равновесия стержня перестает быть устойчивой. Следователь­ но, из всех возможных значений силы надо выбрать наименьшее и принять п=1. Считая, что продольный изгиб произойдет в плоскости наименьшей жест­

Принимая последовательно п - 2, 3 и т. д., получим искривленные формы равновесия в виде синусоиды с двумя, тремя и более полуволнами в пределах длины стержня. При этом сила Р будет в четыре, девять и т. д. раз превышать критическую величину.

Эти формы равновесия неустойчивы, но их можно осуществить, если перей­ ти к новой системе, поставив в точках перегиба синусоиды дополнительные шарнирные подкрепления.

Нами подразумевалось, что сжимающее напряжение в стержне лежит в пре­ делах действия закона Гука, т. е. не превышает предела пропорциональности материала; следовательно, формулой Эйлера можно пользоваться лишь при этом условии. Напомним также, что мы применяем приближенное выражение (1.1.3) для кривизны изогнутой оси, что является уместным лишь при прогибах, достаточно малых по сравнению с длиной стержня. Именно поэтому величина стрелы погиба f осталась в конечном счете неопределенной. С математической точки зрения рассмотренная нами задача представляет собой задачу о собст­ венных значениях линейного однородного уравнения типа (1.1.5). Тривиальное решение v = 0 относится к начальному, неискривленному равновесному со­ стоянию стержня. Нетривиальное решение соответствует так называемым соб­ ственным функциям задачи, которые в данном случае имеют вид (1.1.17). Пер­ вая и высшие критические силы (1.1.15) являются собственными значениями параметра Р, входящего в основное уравнение, т. е. такими значениями Р, при которых это уравнение имеет нетривиальное решение, удовлетворяющее всем граничным условиям задачи.

(1.2.11)

(1.2.12)

Пользуясь (1.1.9), получаем:

В + D = О, Ак + С = О,

Л sin kl + В coskl + CI + D = О, (1.2.13)

Ak cos kl — Bk sin kl + С = 0.

Для постоянных А, В получаем уравнения

Наименьшее возможное значение kl будет равно 2л. Если же приравнять нулю выражение, стоящее в скобках, то наименьший корень будет kl = 8,99. Таким образом, для определения критической силы мы должны положить kl = 2л; тогда

Для критической силы находим выражение

или, с известным приближением,

Г*Р (1.2.26)

~ ,2

Уравнение упругой линии будет

На рис. 1.2.4, а - в сопоставлены упругие линии для рассмотренных случаев закрепления. Формулу Эйлера можно записать теперь в обобщенном виде:

(1.2.28)

или

(1.2.29)

Под /о понимается приведенная длина стержня. При произвольных гранич­ ных условиях ее можно трактовать как длину эквивалентного стержня, имею­ щего по концам шарнирные опоры. Величину v = l0IL называют коэффициентом приведения длины; он равен отношению длины полуволны синусоиды к дейст­ вительной длине стержня; на рис. 1.2.4 а - в полуволна синусоиды выделена; здесь же приведены значения v.

Величине Ркр по (1.2.28) соответствует критическое напряжение в попереч­ ном сечении,равное

(1.2.30)

Обозначим через imin минимальный радиус инерции поперечного сечения:

(1.2.31)

тогда получим:

(1.2.32)

Через здесь обозначена так называемая гибкость стержня: