Теоретическая Информатика

2°. П о з и ц и о н н ы е и н е п о з и ц и о н н ы е

си с т е м ы с ч и с л е н и я

Вдальнейшем будем записывать числа только цифрами. При записи чисел цифрами недостаточно знать, как выгля-

дят цифры. Необходимо также владеть правилами конструи- рования чисел из этих значков-цифр.

Система счисления — способ записи чисел, включающий две части:

1)цифры;

2)правила записи чисел этими цифрами. Систему счисления называют также нумерацией.

Различные системы счисления могут отличаться друг от

друга по следующим трем признакам, которые рассматрива- ются ниже.

1)разное начертание цифр;

2)разные способы записи чисел цифрами;

3)разное количество цифр.

1. Рассмотрим две системы счисления, которые отличаются только начертанием цифр и больше ничем.

Современная цивилизация в основном использует обще- принятое начертание арабских цифр, изучаемое еще в школе. Однако в странах, использующих арабский алфавит, исполь- зуется совершенно другой рисунок десяти цифр, из которых только некоторые напоминают западные арабские цифры. Обе системы графического представления цифр изображены в табл. 1.2.

Т а б л и ц а 1 . 2

Современное западное и «арабское» начертание цифр

Современные арабские цифры в странах арабской письменности

Обе эти системы начертания цифр возникли в ходе исторического развития двух частей одной и той же прасистемы начертания цифр. Первая система развива- лась в Западной Европе, вторая — на Ближнем и Сред- нем Востоке. Правила составления чисел в этих системах совершенно совпадают. Например, число 1828 записы- вается как .

2. По второму признаку отличия систем счисления друг от друга, т. е. по способу записи чисел цифрами, системы счис-

ления делятся на два класса: позиционные системы счисления и непозиционные системы счисления.

Непозиционная система счисления — система счисления, в ко-

торой каждая цифра имеет всегда одно и то же значение, не- зависимо от ее местоположения в записи числа.

Непозиционную систему называют также символьной. Пример непозиционной системы — римская система счисле-

ния. Приведем примеры записи чисел в этой системе.

а. I = 1.

б. II = 1 + 1 = 2.

в. III = 1 + 1 + 1 = 3.

Как видим, римская цифра I всегда обозначает количество 1, где бы она ни располагалась в записи числа.

Позиционная система счисления — система счисления, в кото-

рой значение цифры зависит от ее положения в записи числа. Примером позиционной системы является обычная

школьная десятичная система счисления. Приведем примеры.

а. 1 = 1.

б. 11 = 1 + 10.

в. 111 = 100 + 10 + 1.

Итак, значение цифры 1 зависит от ее места в записи числа.

Русский язык, как и большинство других естествен- ных языков, является десятичным. Другими словами, мы говорим, по известному выражению, не просто про- зой, но десятичной прозой.

Как будет видно в дальнейшем, эта ограниченность языка мешает называть числа из других систем счисле- ния.

3. Наконец, позиционные системы отличаются друг от дру- га количеством цифр, в них используемых.

Основание системы счисления — количество цифр позици-

онной системы счисления.

Позиционные системы называются по своему основанию,

например, десятичная, двоичная, шестнадцатеричная. Эти сис-

темы будут рассмотрены далее.

3°. У п р а ж н е н и я

1.Перепишите таблицу 1 с образцами различных графиче- ских представлений чисел от 0 до 10.

2.Запишите следующие числа современными арабскими цифрами, используемыми в странах с арабской письменно- стью.

Например: 1828 = ; 3,14 = , . а. 1024.

б. 65536.

в. 2,718281828. г. 3,141593.

3. Запишите следующие числа в виде суммы единиц, десят- ков, сотен и т. д., где количество единиц, десятков сотен и т. д. является одной из цифр от 0 до 9.

Например: 1828 = 1000 + 800 + 20 + 8; 3,14 = 3 + 0,1 + 0,04. а. 1024.

б. 65536.

в. 2,718281828. г. 3,141593.

4. Перепишите следующие числа словами по правилам русского языка.

Например: 1828 — одна тысяча восемьсот двадцать восемь; 3,14 — три целых четырнадцать сотых.

а. 1024. б. 65536.

в. 2,718281828. г. 3,141593.

2. Десятичная система счисления

1°. Десятичные цифры. Операции над десятичными числами

I. Напомним основные сведения обычной десятичной сис-

темы.

Десятичная система счисления — позиционная система счисления, использующая десять цифр.

Десятичное число — число, записанное в десятичной систе- ме.

Сразу приведем цифры десятичной системы:

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Поскольку десятичная система позиционная, то в записи числа значение цифры зависит от ее положения.

Примеры.

а. 1 = 1.

б. 11 = 1 + 10.

в. 111 = 100 + 10 + 1.

Итак, если цифра 1 стоит в числе на 1-м месте справа, то она значит один, если на 2-м месте, то десять, на 3-м — сто, и т. д.

г. В числе 1828 одна тысяча, восемь сотен, два десятка и во- семь единиц. Это можно записать следующим образом (на-

помним, что 100 = 1) :

1828 = 8 + 20 + 800 + 1000 = 8 100 + 2 101 + 8 102 + 1 103.

В общем случае произвольное натуральное число будем за- писывать в следующем десятичном виде:

AN −1 AN−2 KA1 A0 .

Здесь буквы A с нижними индексами A0, A1, …, AN-1 внутри угло- вых скобок обозначают цифры, которыми записано число. Т. к. индексы у букв A меняются от 0 до N−1, то это число имеет N цифр в записи.

Любое десятичное число из N цифр можно записать един- ственным образом в виде ряда

AN−1AN−2 KA1A0 = A0 + A1 101 +K+ AN−2 10N−2 + AN−1 10N−1 ,

где каждая буква AI заменяется одной из десяти цифр 0, 1, …, 9. Индексацию букв AI удобно начинать с 0, тогда у сомножите-

лей AI 10I будут одинаковые индексы. Последняя в ряду спра-

ва буква A имеет номер N и индекс N−1.

II. Рассмотрим четыре элементарные арифметические опе- рации над целыми десятичными числами.

1. Десятичные числа удобно складывать столбиком. На рис. 1.3 показано сложение двух пар десятичных чисел.

Когда при сложении текущих разрядов двух чисел в деся- тичной системе получаются числа от 10 до 19, то 1 переходит в следующий разряд. Разумеется, 19 получается, если складыва- ются две девятки и один разряд перешел в текущий из преды- дущего.

Рис. 1.3. Сложение десятичных чисел: а) 50 + 55 = 105; б) 55 + 59 = 114

2. При вычитании следует помнить, что уменьшаемое не должно быть меньше вычитаемого. Если уменьшаемое меньше вычитаемого, то они меняются местами, а результат умножа- ется на −1.

Десятичные числа удобно вычитать столбиком. На рис. 1.4 показано вычитание двух пар десятичных чисел.

При вычитании в десятичной системе если из меньшей де- сятичной цифры вычитается большая, то меньшая цифра в вычитаемом увеличивается на 10, ближайшая слева ненулевая цифра уменьшается на 1, а все нули между ними становятся 9.

Рис. 1.4. Вычитание десятичных чисел: а) 102 − 9 = 93; б) 47 − 224 = −177

40 Глава 1. Числа

3. Десятичные числа удобно умножать столбиком. На рис. 1.5 показано умножение двух пар десятичных чисел.

Самое сложное в умножении десятичных чисел — сложе-

ние нескольких чисел.

Рис. 1.5. Умножение десятичных и двоичных чисел:

а) 17 × 11 = 187; б) 41 × 104 = 4264

4. Десятичные числа удобно делить лесенкой. На рис. 1.6 показано деление двух пар десятичных чисел.

Самое сложное в этом процессе — вычитание двух чисел.

Рис. 1.6. Деление десятичных и двоичных чисел:

а) 36 : 3 = 12; б) 143 : 13 = 11

2°. П р а в и л а з а п и с и д е с я т и ч н ы х ч и с е л 1. Рассмотрим два понятия, связанных с записью десятичных

чисел, которые пригодятся при рассмотрении других недеся-

тичных числовых систем: значащие цифры и разрядность числа.

Два взаимосвязанных свойства цифровой записи чисел:

1)любая последовательность десятичных цифр является каким-нибудь числом;

2)любую запись числа можно дополнить без изменения значения числа произвольным количеством нулей, которые приписываются к числу слева.

Например, число 1 можно записать следующим образом:

а) 1; б) 01; в) 001;

г) 0001.

Первое свойство используется в лотереях: в каком бы по- рядке цифры ни появлялись, все равно получится число.

Второе свойство используется в телефонных номерах, но- мерах автомобилей и документов. Здесь нули приписывают к числам для того, чтобы все они были одной длины.

Получается, что в записи числа могут находиться цифры, которые могут быть отброшены без изменения самого числа. Остальные цифры числа отбрасывать нельзя, поскольку ими определяется число. Цифрами, которые могут быть отброше- ны, являются, конечно, нули, стоящие слева.

Значащие цифры — все цифры числа, кроме нулей, стоящих слева. Исключение: значащей цифрой нуля является 0. Зна- чащие цифры записывают в виде целого числа.

Без примеров в объяснении этого понятия не обойтись. а. Значащими цифрами числа 123 являются цифры 123. б. Значащими цифрами числа 0022 являются цифры 22.

в. Значащими цифрами числа 00001230,0456 являются цифры 12300456.

г. Значащими цифрами числа 0000987,6540000 являются цифры 9876540000.

2. Разрядность числа — количество цифр в записи числа. Однозначные числа записываются одной цифрой. Их количе-

ство — 10 — совпадает с количеством цифр: 0, 1, 2, …, 9. Двузначное число записывается двумя цифрами. Заметим,

что все однозначные числа становятся двузначными, если приписать к ним слева незначащий нуль: числа 00, 01, 02, …, 09 двузначны. Всего получаем 100 двузначных чисел, начиная с самого маленького 00 и заканчивая самым большим 99.

Трехзначное число записывается тремя цифрами. Трехзнач- ных десятичных чисел всего 1000 от 000 до 999. И т. д.

N-значное число записывается с помощью N цифр.

42 Глава 1. Числа

Составим табл. 1.7 с количеством десятичных чисел от од- нозначных до десятизначных.

Т а б л и ц а 1 . 7

Количество однозначных, двузначных и т. д. до десятизначных десятичных чисел

Итак, мы получили, что количество N-значных десятичных чисел равно 10N при любом натуральном N 1.

3. Рассмотрим пунктуационные правила записи десятич- ных чисел в русских и американских текстах.

Русское письмо необходимо знать русскому грамотному человеку.

Американское письмо также полезно знать по следующим причинам:

1)чтобы не путать с русским письмом;

2)по причине использования в программировании.

Рассмотрим две особенности русского письма.

1.Записи целых чисел обычно разбивают (можно и не раз- бивать) для улучшения их восприятия на группы по три циф- ры, считая справа налево. Причем разбивают только числа, больше или равные 10 000. При этом символом отделения групп цифр может быть либо пробел, либо точка.

Примеры.

а. 10 000. б. 10.000.

в. 10.000.000. г. 10 000 000.

В обычном (не учебном) тексте можно использовать только один из символов отделения: либо пробел, либо точку.

Числа с дробной частью на группы не делится. Впрочем, числа, имеющие дробную часть, редко достигают 10 000.

2.Дробная часть числа отделяется от целой части запятой. Примеры.

а. π = 3,141593.

б. e = 2,718281828.

Приведем особенности американского письма.

1.Записи целых чисел, больших или равных 10 000, обычно также разбивают на группы по три цифры, считая справа нале- во. Но символом отделения групп цифр может быть либо про- бел, либо запятая.

Примеры.

а. 10 000. б. 10,000.

в. 10,000,000. г. 10 000 000.

В обычном (не учебном) тексте можно использовать только один из символов отделения: либо пробел, либо запятую.

2.Дробная часть числа отделяется от целой части точкой.

Примеры.

а. π = 3.141593.

б. e = 2.718281828.

3°. У п р а ж н е н и я 1. Запишите следующие числа в виде суммы степеней деся-

ти с коэффициентами, являющимися цифрами от 0 до 9. Например:

1828 = 8 100 + 2 101 + 8 102 + 1 103 ;

3,14 = 3 100 + 1 10−1 + 4 10−2.

а. 1024. б. 65536.

в. 2,718281828. г. 3,141593.

2.Выпишите значащие цифры следующих чисел.

Например: 00182800 — 182800; 003,1400 — 31400. а. 102400.

б. 00650053600.

в. 2,7001828001828. г. 003,1400159300.

3.Запишите по русским правилам результаты выполнения следующих арифметических операций, не используя пробел

как разделителя.

Например: 1828 100 = 182.800; 314/100 = 3,14. а. 1024 100000.

б. 65536 100.

в. 2718281828/100000. г. 3141593/100.

4.Запишите по американским правилам результаты вы- полнения следующих арифметических операций, не исполь-

зуя пробел как разделителя.

Например: 1828 100 = 182,800; 314/100 = 3.14. а. 1024 100000.

б. 65536 100.

в. 2718281828/100000. г. 3141593/100.