Степенная

Уравнение парной регрессии. Использование графического метода. Этот метод применяют для наглядного изображения формы связи между изучаемыми экономическими показателями. Для этого в прямоугольной системе координат строят график, по оси ординат откладывают индивидуальные значения результативного признака Y, а по оси абсцисс - индивидуальные значения факторного признака X. Совокупность точек результативного и факторного признаков называется полем корреляции. На основании поля корреляции можно выдвинуть гипотезу (для генеральной совокупности) о том, что связь между всеми возможными значениями X и Y носит степенной характер. Степенное уравнение регрессии имеет вид y = a x^b Оценочное уравнение регрессии (построенное по выборочным данным) будет иметь вид y = a x^b + ε, где e_i – наблюдаемые значения (оценки) ошибок ε_i, а и b соответственно оценки параметров α и β регрессионной модели, которые следует найти. Здесь ε - случайная ошибка (отклонение, возмущение). Причины существования случайной ошибки: 1. Невключение в регрессионную модель значимых объясняющих переменных; 2. Агрегирование переменных. Например, функция суммарного потребления – это попытка общего выражения совокупности решений отдельных индивидов о расходах. Это лишь аппроксимация отдельных соотношений, которые имеют разные параметры. 3. Неправильное описание структуры модели; 4. Неправильная функциональная спецификация; 5. Ошибки измерения. Так как отклонения ε_i для каждого конкретного наблюдения i – случайны и их значения в выборке неизвестны, то: 1) по наблюдениям x_i и y_i можно получить только оценки параметров α и β 2) Оценками параметров α и β регрессионной модели являются соответственно величины а и b, которые носят случайный характер, т.к. соответствуют случайной выборке; После линеаризации получим: ln(y) = ln(a) + b ln(x) Для оценки параметров α и β - используют МНК (метод наименьших квадратов). Метод наименьших квадратов дает наилучшие (состоятельные, эффективные и несмещенные) оценки параметров уравнения регрессии. Но только в том случае, если выполняются определенные предпосылки относительно случайного члена (ε) и независимой переменной (x). Формально критерий МНК можно записать так: S = ∑(y_i - y^*_i)² → min Система нормальных уравнений. a•n + b∑x = ∑y a∑x + b∑x² = ∑y•x Для наших данных система уравнений имеет вид 20a + 129.98 b = 121.36 129.98 a + 846.03 b = 789.73 Домножим уравнение (1) системы на (-6.5), получим систему, которую решим методом алгебраического сложения. -129.98a -844.87 b = -788.84 129.98 a + 846.03 b = 789.73 Получаем: 1.16 b = 0.89 Откуда b = 0.7741 Теперь найдем коэффициент «a» из уравнения (1): 20a + 129.98 b = 121.36 20a + 129.98 • 0.7741 = 121.36 20a = 20.74 a = 1.0371 Получаем эмпирические коэффициенты регрессии: b = 0.7741, a = 1.0371 Уравнение регрессии (эмпирическое уравнение регрессии): y = e^1.03709266x^0.7741 = 2.821x^0.7741 Эмпирические коэффициенты регрессии a и b являются лишь оценками теоретических коэффициентов β_i, а само уравнение отражает лишь общую тенденцию в поведении рассматриваемых переменных. Для расчета параметров регрессии построим расчетную таблицу

ln(x)	ln(y)	ln(x)2	ln(y)2	ln(x) • ln(y)
6.82	6.39	46.47	40.84	43.56
7	6.03	48.98	36.4	42.22
6.41	5.87	41.05	34.45	37.6
6.78	6.27	45.91	39.25	42.45
7.18	6.84	51.56	46.78	49.11
6.39	6.02	40.77	36.25	38.45
6.63	6.26	43.9	39.23	41.5
6.27	5.91	39.3	34.87	37.02
6.25	5.9	39.11	34.78	36.88
6.29	5.82	39.56	33.84	36.59
6.29	6.01	39.58	36.16	37.84
6.53	6.11	42.58	37.38	39.89
6.29	5.91	39.51	34.87	37.12
6.38	5.79	40.68	33.56	36.95
6.44	6.13	41.47	37.59	39.48
6.26	5.94	39.13	35.29	37.16
6.44	6.08	41.47	37.02	39.18
6.26	5.84	39.13	34.11	36.54
6.49	5.99	42.11	35.93	38.9
6.61	6.24	43.75	38.97	41.29
129.98	121.36	846.03	737.56	789.73