3. Движение по окружности

Задача 3. Груз, подвешенный на нити длиной , двигаясь равномерно, описывает в горизонтальной плоскости окружность. С какой скоростьюдвижется груз, если нить во время его движения образует постоянный угол с вертикалью.

Краткая запись условия задачи: , .

Найти:

Решение. Обратимся к рисунку 17. Выберем инерциальную систему отсчёта. Система отсчета – «Земля». На тело действуют две силы: сила тяжести , сила натяжения нити. Тело, по условию задачи, движется по окружности с постоянной по модулю скоростью. Следовательно, движение тела по окружности, припроисходит с ускорением, которое направлено по радиусу к центру.

На основании второго закона Ньютона можно записать:

Перейдём от векторной записи уравнения к скалярной:

При этом

, , , , ,

Тогда имеем

По условию задачи, не дана сила натяжения нити. Следовательно, её необходимо исключить из двух последних уравнений. Для этого разделим первое равенство на второе:

или

Из кинематики вращательного движения известно:

тогда

,

но (рис. 18)

Следовательно,

4. Движение связанных тел.

Задача 4. На шнуре, перекинутом через неподвижный блок, подвешены грузы массами ,, причем. Найдите ускорение системы грузов, не учитывая трения в блоке и массы блока и нити.

Краткая запись условия задачи: ,,

Найти: ,

Решение. Выберем инерциальную систему отсчёта. Система отсчета – «Земля». Рассмотрим силы, действующее на каждое тело (рис. 19). На первое тело действует сила тяжести , сила натяжения нити, на второе -,. По условию задачи,, поэтому если систему предоставить самой себе, то грузбудет двигаться вниз, а груз- вверх. Из нерастяжимости нити следует, что ускорения по модулю одинаковы:. Тогда на основании второго закона Ньютона для каждого тела можно записать:

Перейдём от векторной записи уравнения к скалярной:

При этом

, , , , .

Тогда имеем

По условию задачи массой нити и трением в блоке можно пренебречь, следовательно, сила натяжения нити будет оставаться постоянной по модулю по всей длине нити, т. е.

Тогда

Для нахождения ускорения сложим два уравнения системы:

Отсюда

Для нахождения подставим ускорениев любое из уравнений, например в нижнее. В результате подстановки получим:

или

Следовательно,

Очевидно, что решение этой и предыдущих задач осуществляется по тому алгоритму, который был сформулирован при решении первой. Дадим теперь его окончательную и чёткую формулировку.

1. Выбрать инерциальную систему отсчёта.

2. Указать направление скорости и направления ускорения.

3. Найти все силы, действующие на тело и изобразить их на чертеже.

4. Записать второй закон Ньютона в векторной форме и перейти к скалярной записи, заменив все векторы их проекциями на оси.

5. Исходя из физической природы сил, выразить силы через физические величины, от которых они зависят, и подставить их в закон Ньютона.

6. Если в задаче требуется определить положение или скорость тела, то написать нужные уравнения кинематики.

7. Полученную систему уравнений решить относительно искомых величин.

А теперь, действуя строго по алгоритму, порешайте сами задачи. Может быть, кому-либо из вас не очень хочется действовать по предписаниям. Это неплохо… Но вспомним о том, что летчик - испытатель высшего класса, решая творческие задачи, возникающие при полёте на новой машине, не задумываясь, автоматически производит те стандартные действия, которым он научился в лётной школе, когда он фактически выполнял операции, действуя по алгоритму. А теперь его ум свободен для решения творческих задач. Доведём же и мы до автоматизма выполнение стандартных операций при решении задач по динамике, чтобы перейти затем к решению творческих задач.

• Задачи для самоконтроля № 137 – 208.