Глава V. Механические колебания и волны.

1. Механические колебания

1.1. Кинематика колебаний

371. Шарик массой 200 г, закрепленный на пружине, жесткость которой 0,2 кН/м, совершает колеба­ния. Напишите уравнение, выражающее зависимость уско­рения от смещения: а_х(х). Каково наибольшее ускоре­ние, если амплитуда колебаний равна 1 см?

372. Найдите ускорение шарика при сме­щениях 2, 0 и -0,5 см, если масса шарика 100 г и жест­кость пружины 400 Н/м. В какой точке шарик движется с ускорением 10 м/с²?

373. Маленький шарик, подвешенный на нити длиной 0,5 м, совершает колебания с амплитудой, много меньшей длины нити. Напишите формулу зависимости а_х (х), счи­тая движение прямолинейным. Каково ускорение шарика при смещениях 0,5 и -1 см?

374. Математический маятник длиной 1 м совершает колебания с амплитудой 2 см. Найдите тангенциальные уско­рения маятника в крайних положениях и в положении равновесия.

375. Амплитуда незатухающих колебаний точки струны 1 мм, частота 1 кГц. Какой путь пойдёт точка за 0,2 с?

376.Какова частота колебаний поршней в цилиндрах двигателя автомобиля «Жигули» при скорости движения автомобиля 120 км/ч, если диаметр колес 60 см и частота враще­ния коленчатого вала в 4,3 раза больше часто­ты вращения колес?

377. Уравнение дви­жения имеет вид: . Како­вы амплитуда, частота, циклическая частота и период колебаний? Найдите смеще­ние через 0,25 с.

378. При каких фазах смещение по модулю равно по­ловине амплитуды?

379. По графику, приведенному на рисунке 105: а) найдите амплитуду, период, частоту и циклическую частоту колебаний; б) напишите уравнение зависимости , ,; в) найдите ускорение колеблющейся точки при фазе ; г) найдите скорость колеблющейся точки через 0,1 с после начала отсчета времени.

380. Амплитуда колебаний 10 см, а частота 0,5 Гц, На­пишите уравнение зависимости x(t). Найдите фазу и смещение через 1,5 с. Определите, через сколько времени смещение будет 7,1 см.

381. При фазе рад смещение было равно 1 см. Найдите амплитуду колебаний и смещение при фазе.

382. Амплитуда колебаний конца ножки камертона 1 мм, а частота колебаний 500 Гц. Напишите уравнения , ,.Каковы наибольшие значения скорос­ти и ускорения? В каких положениях достигаются эти значения?

1.2. Динамика и энергия колебаний

383. Найдите массу груза, который на пружине с жест­костью 250 Н/м делает 20 колебаний за 16 с.

384. Во сколько раз изменится частота колебаний ав­томобиля на рессорах после принятия груза, равного мас­се порожнего автомобиля?

385. Груз, подвешенный на пружине, совершает вертикальные колебания. Когда он имел массу m₁ период колебаний был равен 0,6 с, а когда его массу сделали равной m₂, период стал равен 0,8 с. Каким будет период колебаний этого груза, если его масса будет равна ?

386. Медный шарик, подвешенный к пружине, совершает вертикальные колебания. Как изменится период колебаний, если к пружине подвесить алюминиевый шарик того же размера?

; .

387. Груз, подвешенный на длинном резиновом жгу­те, совершал вертикальные колебания с периодом Т. Во сколько раз из­менится период колебаний, если отрезать 3/4 длины жгу­та и подвесить на оставшуюся часть тот же груз?

388. Как относятся длины математических маятников, если за одно и то же время один из них совершает 10, а второй 30 колебаний?

389. За одно и то же время один математический ма­ятник делает 50 колебаний, а второй 30. Найдите их длины, если один из них на 32 см короче другого.

390. Один маятник имеет период колебаний 3 с, а другой 4 с. Каков период колебаний математического маятника, длина которого равна сумме длин указанных маятников?

391. Часы с маятником длиной 1 м за сутки отстают точно на 1 час. Что надо сделать с маятником, чтобы часы не отставали?

392. Шарик массой , подвешенный на нити, совершает колебания (математический маятник). Как изменится частота колебаний, если шарику сообщить положительный заряди поместить его в однородное электрическое поле напряженностью, силовые линии которого направлены вертикально вниз?

393. В воде плавает брусок из дуба размерами см. Брусок слегка погрузили в воду и отпустили. Найдите период колебаний.

394. Математический маятник длиной 2,5 м совершает колебания с амплитудой 10 см. Напишите уравнение дви­жения x = x(t). Напи­шите формулу , выражающую зависимость силы уп­ругости от времени. Найдите наибольшее значение силы уп­ругости и значение силы упругости через 1/12 периода. Масса маятника 1 кг.

395. Груз массой 400 г совершает колебания на пру­жине с жесткостью 250 Н/м. Амплитуда колебаний 15 см. Найдите полную механическую энергию колебаний и наи­большую скорость движения груза.

396. Груз, подвешенный на пружине с жесткостью 1 кН/м, колеблется с амплитудой 2 см. Найдите кинетическую и потенциальную энергию при фазе рад.

397. Пружинный маятник вывели из положения равновесия и отпустили. Через какое время в долях периода кинетическая энергия колеблющегося тела будет равна потенциальной энергии пружины?

398. Пружинный маятник совершает гармонические колебания с амплитудой 4 см. При смещении груза на 3 см сила упругости рав­на Н. Определите потенциальную и кинетическую энергии,соответствующие данному смещению, и полную энергию маятника.

399. На нити подвешен груз массой 0,1 кг. Определите скорость и кинетическую энергию колеблющегося шарика при прохождении им положения равновесия, если повышение центра тяжести шарика при максимальном отклонении от положения равновесия 2,5 см.

400. Во сколько раз изменилась полная механическая энергия колеблющегося маятника при уменьшении его длины в 3 раза и увеличении амплитуды в 2 раза?

401. Маятник состоит из шарика массой 100 г, подвешенного на нити длиной 50 см. Определите период колебаний маятника и запас энергии, которым он обладает, если наибольший угол его отклонения от положения равновесия .

402. Мальчик несёт на коромысле ведра с водой, период собственных колебаний которых 1,6 с. При какой скорости движения вода особенно сильно начнет выплёскиваться, если длина шага мальчика 60 см?