Часть 1. Классическая механика Кинематика

§ 1. Правило перехода от векторной записи уравнения к скалярной

Пусть даны векторы и . Надо найти вектор и вычислить его модуль, причем задана система координат XOY (рис. 1). По правилу треугольника найдем вектор и определим проекции всех трех векторов на оси.

Итак, вектор . На рисунке 2 нетрудно увидеть, что соотношения между проекциями векторов будут иметь вид

аесли была бы и третья осьZ, то проекция . Как можно истолковать полученный результат?

Всякое векторное уравнение можно представить в скалярном виде, заменив все векторы их проекциями на оси, не меняя знаков между членами уравнения. Последнее означает, что знак «+» в векторном равенстве сохраняется при записи его в проекциях на оси. Это правило перехода от векторной записи уравнения к скалярной его записи в проекциях на оси и позволяет производить вычисления модуля искомой векторной величины (например ), если заданы модули других векторов (и). Например, пусть , а . Чему равна величина с, если (рис. 2)? Как вам надо действовать? Надо найти проекции векторов на оси, изобразив их на чертеже. Очевидно, что а_х = 0, , , . И т. к. вместо можно записать:

то ,.

Но, если известны проекции вектора на оси и, то

.

Итак, если задано векторное уравнение, например , связывающее один вектор () с двумя другими ( и ), и заданы модули двух векторов (а и ), то, чтобы найти искомый модуль с, надо поступать следующим образом:

1. Зная векторное уравнение , надо перейти к уравнениям в проекциях векторов на оси:

2. Найти проекции каждого из векторов ина оси (и,и ) и проекции искомого вектора (и ).

3. Найти искомый модуль вектора , пользуясь равенством

• Задачи для самоконтроля № 1 – 7

§ 2. Примеры решения задач на тему «Перемещение, путь»

Задача 1. Тело переместилось из точки с координатами м,м в точку с координатамим,м. Сделайте чертеж, найдите модуль вектора перемещения, проекции вектора перемещения на координатные оси.

Дано: м, м,м,м.

Найти: , ,

Решение: Выберем систему отсчёта. Система отсчёта «Земля». А теперь подумаем, как, зная ,, ,, найти , . Очевидно, необходимо воспользоваться следующими формулами:

Тогда:

(м)

(м)

Используя теорему Пифагора (рис. 3а), получим:

(м)

Задача 2. Вертолет, пролетев по прямой 400 м, повернул под углом и пролетел еще 300 м. Найдите путь и перемещение вертолета.

Дано: м, м.

Найти: ,

Решение: Выберем систему отсчёта. Система отсчёта «Земля». Очевидно, для нахождения всего пути, пройденного вертолетом, необходимо сложить два участка пути, т. е.

(м)

Для нахождения перемещения, необходимо сделать чертёж, поясняющий условие задачи – см. рис. 3б. Применим теорему Пифагора, т. к. - прямоугольный.

Тогда

(м)

• Задачи для самоконтроля № 8 – 17

§3.Примеры решения задач на тему «Равномерное прямолинейное движение»

Задача 1. По данному графику (рис. 4) напишите уравнения движения тела . Определите,через 20 с.

Решение: Так как график является прямой линией, то уравнение графика является уравнением прямой линии:

.

Найдем коэффициенты ,. Для этого применим это уравнение к двум точкам графика, например дляA (10; 20), B (30; 100):

Решим эту систему уравнений относительно ,. В итоге получим:

или

Тогда

Для нахождения подставимв любое из уравнений системы. В результате подстановки получим:

Следовательно,

Таким образом, уравнения движения тела можно записать так:

Для нахождения координаты и скорости тела через 20 с. необходимо подставить (с) в полученные уравнения.

Задача 2. Движение двух автомобилей задано уравнениями (м),(м). Найдите время и место встречи.

Решение: Обозначим момент встречи двух автомобилей за . В момент встречи координаты одинаковы, т. е.. Тогда:

Решая это уравнение, относительно получим: (c)

Для нахождения координаты точки встречи необходимо подставить (c) в любое из уравнений:

(м)

Итак, время встречи равно c после начала отсчёта времени, координата точки встречи равна м.

• Задачи для самоконтроля № 18 – 24