§ 5. Алгоритм решения задач по кинематике

Попросту говоря, алгоритм - это система предписаний, вы­полнение которых в заданной последовательности позволяет ре­шать задачи данного класса. Вы сами позднее убедитесь, что решать задачи по предписаниям, указанным в алгоритме, много проще, чем, скажем, методом проб и ошибок, весьма распространенным, но не самым эффективным. Во всяком случае, стандартные задачи решаются точно по алго­ритму. А в нестандартных надо проявить свою собственную смекалку, но и в них приходится выполнять алгоритмические действия. Итак, поучимся алгоритмическому методу решения за­дач. Но откуда взять этот алгоритм, например, по кинематике? Его надо (как и другие алгоритмы) сконструировать, находя общие действия, выполняемые при решении хотя бы двух задач од­ного класса. Естественно, что, пока у нас еще нет алгоритма, будем действовать по общему плану решения физических задач.

Задача 1. Два автомобиля движутся прямолинейно в одну сторону: первый - со скоростью , второй - со скоростью. В некоторыймомент времени расстояние между ними равно . Через сколько времени и в каком месте первый автомобиль догонит второй?

Изучив условие задачи, запишем его в сокращенном виде, обозначив точку встречи буквой , «место встречи» - координатой, время встречи - (буквуt лучше не использовать для обозначения конкретного момента, так как в уравнениях дви­жения время t выступает как переменная величина, которая может принимать конкретные различные значения).

1. Выполнив чертеж(рис. 5), будем составлять план решения задачи. В условии задачи идет речь о двух телах, находящихся в точках O и A, которые можно уподобить материальным точкам (Поэтому не стоит рисовать «кразы» или «мерседесы»). Заданы их скорости в некоторый момент времени и расстояние между

ними (). Но положение этих тел и их скорости вполне определенны лишь в выбранной системе отсчета. Вот и надо сначала выбрать систему отсчета, т. е. тело отсчета (Земля), начало системы координат (точка О), положительное направление оси (направление движения) и момент времени, принимаемый за начальный (момент, когда автомобили находились на расстоянии ).

2. Какие процессы происходят с телами, описанными в условии? Оба автомобиля имеют постоянные скорости, т. е. движутся равномерно и прямолинейно. Следовательно, их движение описывается уравнениями

3. Чтобы решить, где будут находиться автомобили в последу­ющий момент времени , надо знать их начальные условия, т. екоординаты и скорости в начальный момент времени. Так как авто­мобили движутся равномерно, то их начальные скорости совпада­ют со скоростями в последующие моменты, и поэтому

; ; ;

Подставив эти величины в уравнения движения, получим

4. Эти уравнения справедливы для любого момента времени , для любой точки траектории (здесь время- переменная величина). Следовательно, они справедливы и дли интересующего нас момента времени, когда первый автомобиль догонит второй в точкеB. Ясно, что в этот момент оба находились в одной и той же точке пространства (точке ), т. е. имели одинаковые коорди­наты. Итак, для точкиВ имеем ;. Тем самым в тексте задачи мы выяснили дополнительные условия и выразили их на математическом языке. Теперь можно написать уравнения движения для данного момента времени, подставив в уравнения дополнительные условия:

5. Решая эту систему уравнений, получим

откуда

,

Проверка решения: ,

Анализ решения в общем виде показывает, что если скорость <, то время <0, что не имеет смысла, т.е. при этом условии первый автомобиль никогда не догонит второй (это известно из здравого смысла).

А теперь выясним те действия, которые наиболее характерны для решения этой задачи и не входят в общий план решения. Эти действия таковы. Мы выбрали систему отсчета, определили вид движения вдоль оси координат и записали уравнения движения, определили начальные условия и подставили их в уравнения, определили дополнительные условия и подставили их в уравнения и, наконец, решили эти уравнения относительно искомых. Это и есть черновой набросок алгоритма. Пользуясь им, решим еще за­дачу, чтобы проверить его пригодность.

Задача 2. Уклон длиной лыжник прошел за время, двигаясь с ускорением. Какова скорость лыжника в начале и в конце уклона?

Краткая запись условия задачи: , ,.

Найти: , .

Решение: 1. Выбираем систему отсчёта «Земля», приняв за начало системы координат точку (рис. 6).

2. Так скорость лыжника меняется с течением времени, то он движется равнопеременно, а точнее равноускоренно, т. к. спускается с уклона. Тогда уравнения движения в векторном виде будут иметь следующий вид:

в скалярном виде

3. Определим начальные (точка O), конечные (точка В) условия и проекцию ускорения:

; ;; ;;

Тогда

4. Решим эту систему уравнений

Анализируя систему уравнений, приходим к выводу, что решить эту систему уравнений можно следующим образом: сначала выразить из первого уравнения, а затем подставитьво второе уравнение.

Таким образом, из первого уравнения

Следовательно

Найдем значение конечной скорости

Нетрудно видеть, что намеченный алгоритм подошел и для ре­шения этой задачи.

Итак, алгоритм решения задач по кинематике можно сформу­лировать следующим образом:

1. Выбрать систему отсчета (тело отсчета, начало системы координат, положительное направление осей и момент времени, принимаемый за начальный).

2. Определить вид движения вдоль каждой оси и написать кинематические уравнения движения: уравнения для координаты и скорости. (Если тел несколько, уравнения пишутся для каждого тела.).

3. Сделать рисунок, поясняющий условие задачи, с указанием начальных, конечных условий. Если движение равнопеременное, указать направление ускорения.

4. Определить начальные условия (координаты и скорости в начальный момент времени), а также проекцию ускорения на оси и подставить эти величины в уравнения движения.

5. Определить дополнительные условия, т. е. координаты и скорости для какого-то момента времени, и подставить эти вели­чины в уравнения движения.

6. Полученную систему уравнений решить относительно искомых величин.

В дальнейшем постарайтесь этот алгоритм запомнить и решать задачи строго по нему: ведь он дает метод решения всех кинема­тических задач.

• Задачи для самоконтроля № 25 – 57.