§ 16. Алгоритм решения задач на закон сохранения и превращения механической энергии

Выясним, в чем состоит метод решения задач, опирающийся на изученные в механике энергетические законы. А таких законов два: закон изменения механической энергии и закон ее сохранения или . Попытаемся, опираясь на эти законы, решить несколько задач и на этой основе сконструировать алгоритм.

Задача 1. Тело брошено с поверхности Земли под углом к горизонту со скоростью . Найдите его скорость на некоторой высоте, если сопротив­ление воздуха пренебрежимо мало.

1. Прежде чем анализировать происходящие процессы, надо выбрать систему отсчета. Сделаем это, как показано на ри­сунке 31.

2. Желая решать задачу энергетическим методом, мы должны применить либо закон сохранения, либо закон изменения меха­нической энергии. И в том и в другом случае надо найти энергию в двух каких-то состояниях, которые надо, прежде всего, выбрать. Естественно, что выбирать состояния надо так, чтобы в число их параметров входили бы как известные, так и искомые величины. Таковыми в данном случае являются указанные на чертеже состояния в точках 1 и 2.

3. Так как в дальнейшем потребуется определять потенциальную энергию, то надо выбрать нулевой уровень ее от­счета. В качестве такового вы­берем поверхность Земли.

4. Чтобы решить, какой из двух энергетических законов применим в данном случае, на­до выяснить, какие силы дей­ствуют на тело: потенциальные или непотенциальные. В данном случае действует только потенциальная сила – сила тяжести. Следовательно, применим закон сохранения механической энергии. Запишем его в виде:

(16.7)

5. Найдем значение энергии ии подставим в уравнение(16.7):

;

Получим

Отсюда

Попытайтесь решить эту задачу кинематически (считая угол известным), чтобы убедиться, насколько энергетический метод упрощает решение.Прочитав решение задачи, выделите и сформулируйте основные действия (предписания алгоритма), из которых складывалось решение.

А теперь, пользуясь этими предписаниями, решим еще одну задачу.

Задача 2. Поезд отошел от станции и, двигаясь равноускоренно, на пути, равном 200 м, приобрел скорость 10 м/с. Найдите массу поезда, если работа силы тяги Дж, а коэффициент трения 0,005

Краткая запись условия задачи: м,,,Дж,

Найти:

Решение: 1. Выберем систему отсчета – «Земля».

2. Выделим те состояния тела, которые нас интересуют. На рисунке 32 состояния 1 и 2.

3. Выберем нулевой уровень отсчета потенциальной энергии, как показано на рис. 32.

4. Выясним, какие силы действуют на тело в процессе его движения. При переходе тела из состояния 1 в состояние 2 действуют потенциальные и непотенциальные силы. Потенциальные силы – сила реакции опоры (один из видов силы упругости,- потенциальная сила), сила тяжести. Непотенциальные силы - сила тяги, сила тренияСледовательно, необходимо применить закон изменения энергии. В нашем случае его можно записать следующим образом (действуют две непотенциальные силы)

(16.1)

Раскроем значение энергии в каждом состоянии и подставим в уравнение (16.1):

;

Получим

(16.2)

Анализируя условие задачи, приходим к выводу, что для нахождения массы тела, необходимо раскрыть работу силы трения. По определению

(16.3)

но ,

(докажите самостоятельно, используя алгоритм решения задач по динамике)

тогда

(16.4)

Подставляя (16.4) в (16.3) получим:

(16.5)

Подставляя (16.5) в (16.2) получим:

или

тогда

=

Если сформулировать основные действия, выполненные в решении первой задачи, и сравнить их с теми, что выполнялись в решении предыдущей, то придем к выводу, что действия-то, по сути, одинаковы. Система этих действий и есть алгоритм решения задачи энергетическим путем. Вот его окончательная формулировка:

1. Выбрать систему отсчёта.

2. Сделать рисунок, с указанием нулевого уровня отсчёта и двух положений тела (указать скорость, высоту или координату).

3. Определить силы, действующие на тела (потенциальные или непотенциальные).

4. Если действуют только потенциальные силы, написать закон сохранения механической энергии в виде . Если действуют и непотенциальные силы, написать закон изменения механической энергии в виде.

5. Раскрыть значения энергии в каждом состоянии, найти величину работы и, подставив эти величины в уравнение закона, затем решить его относительно искомой величины.

А теперь решим еще две задачи, в которых кроме закона сохранения (изменения) энергии используются ряд других законов.

Задача 3. Маятник массой 5 кг отклонен на угол от вертикали. Какова сила натяжения нити при прохождении маятником положения равновесия?

Дано: , кг.

Найти:

Решение: 1. Выберем систему отсчёта. Система отсчета – «Земля». В задаче требуется найти силу натяжения нити в тот момент, когда маятник проходит положение равновесия. Изобразим силы, действующие на тело в этом положении. На тело действуют две силы: сила тяжести , сила натяжения нити(рис. 33).

Тогда на основании второго закона Ньютона можно записать:

Перейдём от векторной записи уравнения к скалярной:

При этом

, ,

Тогда имеем

но ,

Следовательно,

(16.6)

Для нахождения скорости маятника необходимо применить закон сохранения или изменения энергии. Для этого:

2. Выделим те состояния тела, которые нас интересуют. На рисунке 34 состояния 1 и 2.

3. Выберем нулевой уровень отсчета потенциальной энергии, как показано на рис. 34.

4. Выясним, какие силы действуют на тело в процессе его движения. Как говорилось выше, на тело действуют сила тяжести , сила натяжения нити, которые являются потенциальными. Следовательно, применим закон сохранения механической энергии. Запишем его в виде

(16.7)

5. Найдем значение энергии ии подставим в уравнение(16.7):

;

Получим

Отсюда

(16.7)

Найдем , используярис. 34

или

(16.8)

Подставляя (16.8) в (16.7), а затем полученное выражение в (16.6) будем иметь:

или

(H)

Задача 4. Пуля, летевшая горизонтально со скоростью 427 м/с, попадает в брусок, подвешенный на нити длиной 4 м, и застревает в нем. Определите угол, на который отклонится брусок, если масса пули 20 г, абруска 5 кг

Краткая запись условия задачи: 427,м,г,.

Найти: .

Решение: 1. Выберем систему отсчёта. Система отсчёта – «Земля».

2. Выделим те состояния тела, которые нас интересуют. На рисунке 35 состояния 1, 2, 3. Однако применить закон сохранения энергии для состояния 1 - 2 (рис. 35а) нельзя, т. к. при ударе часть механической энергии превращается во внутреннюю. Для состояния 1-2 применим закон сохранения импульса, т.к. при ударных взаимодействиях суммарный импульс системы не изменяется.

Согласно закону сохранения импульса имеем:

Используя правило перехода от векторной формы записи к скалярной получим:

при этом

; ; ;

В итоге имеем:

или

Следовательно,