Глава 5:Колебания и волны.

Гармонические колебания.

Колебания – периодически повторяющийся процесс.

Необходимое условие возникновения колебаний – наличие возвращающей силы, то есть силы, которая стремится вернуть систему в положение равновесия.

Наиболее наглядный пример: колебания груза на пружинке. Для простоты рассмотрим колебания в горизонтальном направлении, предположив, что сила трения между грузом и поверхностью по которой он скользит, пренебрежимо мала ( рис. 26).

Если мы сместим груз из положения равновесия вправо, возникнет сила упругости, направленная влево, которая стремится вернуть груз в положение равновесия. Под действием этой силы груз будет двигаться с ускорением, увеличивая скорость. И в точку, соответствующую положению равновесия, он вернется, имея некоторую скорость. Из-за этого он будет продолжать двигаться по инерции, смещаясь влево от положения равновесия. Его движение будет тормозиться силой упругости сжимаемой пружины. В какой-то момент груз остановится, и весь процесс повторится в обратном направлении.

Если мы обозначим смещение из положения равновесия x и учтем, что сила упругость равна , то в соответствии со вторым законом Ньютона можем составить дифференциальное уравнение:

, или

Решением этого уравнения является гармоническая функция, являющаяся уравнением колебаний:

,

где , а А и α - постоянные, появляющиеся при решении дифференциального уравнения второго порядка. Эти постоянные имеют вполне определенный физический смысл (см. ниже).

Колебания, описываемые гармонической функцией (синусоидальной или косинусоидальной), называются гармоническими колебаниями. Колебания будут иметь гармонический характер, если возвращающая сила пропорциональна смещению из положения равновесия.

рис.26 Колебания груза на пружине

Параметры колебаний.

В уравнении колебаний x обозначает смещение из положения равновесия. Максимальное значение (А) эта величина примет при . Максимальное смещение из положения равновесияА называется амплитудой.

Аргумент гармонической функции называетсяфазой колебания.

В начальный момент времени (при t=0) фаза равняется α. Поэтому эта величина называется начальной фазой колебаний.

Скорость изменения фазы колебаний ω называется циклической частотой колебаний. Единица ее измерения с^-1. К этой величине часто применяют термин частота, но надо иметь в виду, что, строго говоря, частота (ν) это другая величина, которая равна количеству колебаний в единицу времени. Измеряется частота (ν) в Герцах (Гц). Один Герц это одно колебание в секунду Поскольку за одно колебание фаза изменяется на 2π, то эти две частоты связаны между собой соотношением:

.

Величина обратная частоте

Называется периодом колебаний. Она показывает, за какое время происходит одно колебание или, за какое время фаза изменяется на 2π. Соответственно с циклической частотой период связан соотношением:

.

Энергия колебаний.

Используя уравнение колебаний можно определить, по какому закону изменяются скорость колеблющегося тела и его ускорение:

,

.

Таким образом амплитуды (максимальные значения) скорости υ₀ и ускорения a₀ соответственно равны:

и .

Изменению скорости соответствует изменение кинетической энергии:

.

В то же время деформация пружины создает запас потенциальной энергии:

.

Зависимости от времени потенциальной и кинетической энергии сдвинуты по фазе на π/2. Это означает, что происходит периодичное преобразование кинетической энергии в потенциальную и обратно. Причем, учитывая, что период изменения функций ив два раза меньше, чем тех же функций в первой степени, изменение как кинетической, так и потенциальной энергий происходит с частотой в два раза большей частоты колебаний.

Что касается суммарной энергии , то ее величина оказывается равной

И с учетом того, что :

.

Несмотря на то, что потенциальная и кинетическая энергии непрерывно меняются, суммарная энергия колеблющейся системы остается постоянной, что согласуется с законом сохранения энергии. В любой момент времени полная энергия равна:

.

Этот вывод справедлив, если на колеблющуюся систему не действуют неконсервативные силы.

Сложение колебаний.

Наиболее часто встречающиеся случаи сложения колебаний и их результаты:

1. При сложении колебаний с одинаковыми частотами (ω) но с разными амплитудами (А₁ и А₂) и разными начальными фазами (α₁ и α₂) колебания будут совершаться с частотой ω, а их амплитуда А будет равна:

2.Сложение колебаний с кратными частотами подчиняется теореме Фурье, согласно которой любую периодическую функцию можно разложить в ряд гармонических функций с кратными аргументами. В применении к колебаниям это означает, что любой (не синусоидальный) периодический процесс может быть представлен как сумма синусоидальных колебаний с кратными частотами. Эти колебания называются гармониками (первая, вторая и т.д. гармоники в соответствии с кратностью частоты).

3. Сложение колебаний с близкими частотами ω и ω+Δω дает результат, который называется биения:

.

Физический смысл этого результата заключается в том, что мы получаем колебания, имеющие частоту ω (второй сомножитель в формуле), но при этом амплитуда колебаний периодически изменяется по закону

с частотой (первый сомножитель в формуле). Термин близкие частоты подразумевает, чтоΔω<<ω.

4. Сложение взаимно перпендикулярных колебаний.

Рассмотрим колебательные движения одного и того же тела во взаимно перпендикулярных направлениях. Если колебания происходят по гармоническому закону, то одна из координат изменяется как

,

а вторая:

.

Эти два уравнения можно рассматривать как систему уравнений, позволяющих определить траекторию движения тела. В частности, если колебания вдоль взаимно перпендикулярных направлений происходят с одинаковой частотой, то получается такое уравнение, связывающее x и y:

.

Как видно результат зависит от разности фаз взаимно перпендикулярных колебаний. Если α ₂– α₁=2nπ или α ₂– α₁=(2n+1)π (n-целое число), то для уравнения траектории получаем линейную зависимость:

.

Если же , то получим уравнение эллипса:

,

а при условии: А=В круговую траекторию:

.

Во всех выше перечисленных случаях подразумевались механические колебания, где периодически изменяющейся величиной является координата. Но эти выводы могут быть применены к колебаниям любой другой физической величины.

Математический и физический маятники

Маятник – это твердое тело, колеблющееся под действием силы тяжести вокруг неподвижной точки или оси.

Математическим называется маятник, если

колеблющийся груз можно считать материальной

точкой (другими словами можно пренебречь массой

подвеса).

Уравнение динамики для вращательного движения

в этом случае будет иметь вид:

рис.27

Математический маятник Здесь l - длина нити, на которой подвешена

масса m.. Знак минус справа учитывает, что возникающий момент сил противодействует отклонению груза от положения равновесия. Если амплитуда колебаний мала (φ<<1), то можно считать, что sinφφ. И уравнение превратится в обычное гармоническое уравнение:

,

решением которого будет косинусоидальная (или синусоидальная) функция , описывающая гармонические колебания с частотой

.

Физический маятник представляет собой тело с распределённой массой, размеры которого сопоставимы с расстоянием от его центра масс до точки подвеса. В этом случае важное значение приобретает момент инерции колеблющегося тела J относительно точки подвеса. А в уравнении моментов для момента сил надо учитывать расстояние от точки подвеса до центра масс l_c: M=-mgl_csinφ. Для случая малых углов это уравнение примет вид:

Это означает, что колебания такого маятника будут происходить с частотой .

Последнюю формулу можно записать в виде

,

если это приведенная длина маятника, которая равна:

.

В соответствии с полученными результатами период колебаний математического маятника равен:

,

а физического:

.

Затухающие колебания

Реальные колебания всегда происходят в присутствии силы сопротивления, зависимость которой от координаты чаще всего можно выразить следующим образом:

.

Соответственно при составлении дифференциального уравнения в правой части в дополнение к квазиупругой силе F=-kx появляется второе слагаемое, учитывающее действие силы сопротивления:

С помощью введения обозначения и учета того, чтоэто уравнение приводится к виду:

.

Решение такого уравнения зависит от соотношения величин ω₀ и β.

При условии результатом будет плавное экспоненциальное уменьшениеx.

Рис. 28 Затухающие колебания

Если же выполняется обратное условие , то решением уравнения будет функция

,

которая говорит о том, что будут происходить колебания с частотой , амплитуда которых уменьшается по экспоненциальному закону (см. рис. 28):

Характеристики затухающих колебаний

Колебания совершаются с частотой затухающих колебаний :

,

где -собственная частота колебаний. Величину β называют коэффициентом затухания. Она связана с τ – временем затухания, за которое амплитуда уменьшается в е раз. Значит β·τ=1 .

Если проследить за изменением амплитуды за время, равное периоду колебаний Т:

,

то получим величину, которая называется декремент затухания. При анализе затухающих колебаний чаще используют логарифмический декремент затухания λ

.

количество колебаний, совершаемое за время затухания τ (N_e ) равно:

.

Одной из важных характеристик колеблющихся систем (как механических, так и электромагнитных) является добротность. Добротность (Q ) учитывает как быстро теряется энергия, которую получила колеблющаяся система. Она равна отношению энергии колебаний к потери этой энергии за один период, умноженному на 2π :.

.

Учет зависимости энергии колебаний от амплитуды, а амплитуды от времени приводит к формуле:

.

И если затухание слабое, то есть β мало настолько, что можно считать ,получается , что добротность обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания:

.

Вынужденные колебания

Вынужденные колебания это колебания, которые происходят под действием периодически меняющейся силы. Если зависимость силы от времени подчиняется закону , дифференциальное уравнение принимает вид:

.

Так же, как и в предыдущем случае можем использовать обозначения и, и кроме того используем величину, называемую «приведенная сила». Тогда получим следующее уравнение:

.

Это уравнение в отличие от предыдущего, составленного для затухающих колебаний, называется неоднородным – у него есть правая часть.

Теория дифференциальных уравнений говорит, что решением такого уравнения будет сумма двух функций:

.

Первое слагаемое повторяет решение однородного уравнения для затухающих колебаний. Поскольку амплитуда при затухании довольно быстро устремляется к нулю, можно считать, что вынужденные колебания будут совершаться по закону

,

то есть с частотой изменения вынуждающей силы, но с некоторым сдвигом фаз φ относительно нее.

Параметры вынужденных колебаний. Резонанс.

Вынужденные колебания совершаются с частотой изменения вынуждающей силы, но при этом амплитуда колебаний и сдвиг фаз колебаний относительно вынуждающей силы зависят от разности собственной частоты колебаний и частоты вынуждающей силы ().

Для амплитуды выполняется зависимость:

,

а для разности фаз:

.

Резонансом называется резкое возрастание амплитуды колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте. Особенно сильно резонанс проявляется при малом затухании β.

A Резонансная частота это такая частота

вынуждающей силы при которой амплиту-

да вынужденных колебаний будет макси-

мальна:

.

Соответственно резонансная амплитуда

оказывается равной:

рис. 29 Резонанс .

Здесь ω′ , как и выше, обозначена частота затухающих колебаний:

.

При тангенс разности фаз вынужденных колебаний и вынуждающей силы оказывается равным . И при малом значении затухания β () , а это означает, что .

Волны. Уравнение волны.

Волновой процесс – колебания, распространяемые в среде (в пространстве). При этом направление колебаний и направление распространения волны могут совпадать, а могут быть взаимно перпендикулярны. Если направление колебаний совпадает с направлением распространения волны, то такие волны называются продольными. А в случае, когда колебания совершаются в направлении перпендикулярном распространению волны – поперечными.

Волновым фронтом называют геометрическое место точек, до которых к настоящему моменту дошел волновой процесс.

Волновая поверхность геометрическое место точек, колеблющихся в одной фазе.

Если волновые поверхности (и волновой фронт) представляют собой плоскости, то такие волны называются плоскими волнами.

Соответственно у сферических волн волновые поверхности имеют форму сферы.

При описании волнового процесса смещение из положения равновесия принято обозначать буквой ξ (кси), поскольку координата x связана с информацией о распространении волны. Соответственно, амплитуду колебаний будем обозначать ξ_0.

Если в точке с координатой x в результате распространения плоской волны возникают колебания, описываемые обычным гармоническим уравнением колебаний , то необходимо учесть, что начались они только тогда, когда до этой точки дошла волна. Поэтому из начальной фазы следует вычесть отставание фазы, возникшее за времяΔt, затраченное волной на преодоление этого расстояния:

.

Δt зависит от скорости распространения волны υ: . Значит, колебания в точке с координатойx подчиняются закону:

.

Отношение называется волновым числом и с помощью него волновой процесс записывается уравнением

,

которое называется уравнением плоской волны. Данное уравнение дает описание волны в случае, когда волна распространяется вдоль оси x (одномерный случай). Если плоская волна распространяется в произвольном направлении, задаваемом вектором (трехмерный случай), тоуравнение плоской волны будет выглядеть так:

.

Здесь вектор - волновой вектор, проекциями которого на оси являются соответствующие волновые числа:

.

В уравнении сферической волны необходимо учесть уменьшение амплитуды обратно пропорционально расстоянию, пройденному волной:

.

Параметры волнового процесса.

Также как и при описании колебаний, параметрами волны являются амплитуда (ξ₀,), циклическая частота (ω), фаза и начальная фаза (α), а также, связанные с циклической частотой период и частота (в герцах).

Кроме этого волновой процесс имеет и пространственные характеристики. Во первых, это скорость. Например, когда мы наблюдаем волны на воде, мы следим за гребнем волны, и скорость его движения говорит нам о том, как быстро двигаются волны. Но гребень - это точки, находящиеся в фазе максимального отклонения. То есть мы следим, за тем, как перемещается максимальная фаза колебаний. Но можно следить и за скоростью движения «провалов» или какой-то другой фазы. Во всех этих случаях мы получим величины, характеризующую скорость распространения волны. Поэтому под скоростью волны мы понимаем скорость движения волновой поверхности, имеющей определенную фазу. Эта скорость называется фазовой скоростью волны. Термин фазовая часто опускается, по крайней мере до тех пор, пока не возникает необходимость сравнить эту скорость с групповой скоростью волн.

Расстояние между двумя соседними волновыми поверхностями, имеющими одинаковую фазу (например, расстояние между гребнями волн на воде) называется длиной волны и чаще всего обозначается буквой λ (лямбда). Поскольку фаза повторяется через интервалы времени, равные периоду Т, длина волны равняется расстоянию пройденному волной за это время:

.

Длина волны связана с волновым числом k. Учитывая, что , получим:

.

Волновое уравнение.

Уравнение волны это функция времениt и координат x,y,z, входящих в радиус-вектор .

Эта функция является решением дифференциального уравнения второго порядка. В более простом одномерном случае уравнение имеет вид:

.

Это дифференциальное уравнение содержит производные по времени и по координате. Важно отметить, что коэффициент, связывающий временну́ю часть с координатной равен , где υ - скорость волнового процесса, описываемого решением данного уравнения. Это означает, что правильно составив уравнение, мы сразу получим информацию о скорости волны.

Если при решении конкретной задачи нам необходимо при составлении уравнения учитывать все три координаты, волновое уравнение будет иметь вид:

,

где

- дифференциальный оператор, предполагающий взятие вторых производных по всем трем координатам. И в этом варианте волнового уравнения скорость распространения волны входит в коэффициент, связывающий производную по времени с производными по координатам.

Волны в упругой среде.

Для того чтобы в упругой среде возникли колебания нужно сместить частицы среды из положения равновесия. Сила упругости будет стремиться вернуть эти частицы в положение равновесия, увлекая при этом в процесс колебаний соседние области упругой среды – пойдет волна. Такая упругая волна будет, например, распространяться в стальном рельсе после улара молотком по его торцу - рельс начинает гудеть.

Чтобы проанализировать этот процесс надо рассмотреть движение

очень маленького объема, имеющего массу Δm под действием сил упругости: .

Δm выражается через объем , с использованием плотности материала .

Ускорение это вторая производная по времени смещения из положения равновесия: .

Для нахождения силы необходимо учесть разницу внутреннего напряжения на двух торцах выделенного объема. Внутреннее напряжение оценивается по величине деформации с использованием модуля ЮнгаЕ. В результате, сила оказывается равной . Таким образом, использование второго закона Ньютона в итоге приводит к равенству:

.

Или после сокращения :

.

Видно, что получено волновое уравнение, решением которого будет уравнение, описывающее волновой процесс в упругой среде. Коэффициент перед второй производной по времени говорит, что эта волна будет распространяться со скоростью

.

Данный результат получен для продольной волны. Но в упругой среде может распространяться и поперечная волна. В этом случае вместо модуля Юнга должен быть учтен модуль сдвига G, и, соответственно скорость распространения волны будет равна:

.

В газовой среде может распространяться только продольная волна, и величина ее скорости зависит от параметров состояния газа: температуры T, давления p, молярной массы μ, показателя адиабаты γ и универсальной газовой постоянной R:

.

Энергия упругой волны

Энергия волны также как энергия колебаний складывается из кинетической и потенциальной энергии. Поскольку буква Е сейчас занята обозначением модуля Юнга привлечем для обозначения энергии латинскую букву W. Итак,

.

Кинетическая энергия выражается через скорость. Скорость колеблющихся частиц это производная по времени смещения из положения равновесия ξ:

.

Поэтому кинетическая энергия элементарного объема ΔV равняется

.

Потенциальная энергия связана с упругой деформацией

.

И в том же объеме ΔV ее величина равна

.

Для получения плотности w энергии волны просуммируем кинетическую и потенциальную энергию и разделим на ΔV . Кроме того учтем, что .

Этот результат говорит о том, что плотность энергии каждый момент времени в разных точках пространства различна. При нахождении среднего по времени значения плотности энергии в каждой точке среды усреднение квадрата синуса дает коэффициент ½:

С одной стороны волна это процесс, связанный с движением в пространстве, с другой стороны этому процессу соответствует определенный запас энергии. Следовательно, мы можем говорить о переносе волной энергии. Для характеристики течения энергии в разных точках пространства вводится векторная величина, называемая плотностью потока энергии. Плотность потока энергии это количество энергии, переносимое через единичную площадку за единицу времени. Величина эта равна произведению плотности энергии волны на скорость ее распространения.

.

Этот вектор плотности потока энергии называется вектором Умова.

Когда говорят об интенсивности волны, то имеют ввиду среднее значение плотности потока энергии, переносимой волной:

Как видно из полученного выражения, интенсивность волны пропорциональна квадрату частоты и квадрату амплитуды.

Стоячие волны. Резонаторы.

Если на пути волны, описываемой уравнением , имеется препятствие, волна отражается от него и двигается в противоположном направлении. В уравнении отраженной волны изменится знак передx: . Наложение прямой и обратной волн приведет к установлению особого режима колебаний:

.

Здесь , а. Смысл полученного результата в том, что в каждой точке пространства совершаются колебания, амплитуда которых является периодической функцией отх:

. Такой режим колебаний называется стоячие волны.

Согласно полученной зависимости амплитуды от координаты в стоячей волне имеются точки , где амплитуда равна нулю (колебаний не происходит). Эти точки называются узлами. В то же время имеются точки, в которых амплитуда колебаний максимальна. Эти точки называются пучности. Поскольку стоячие волны возникают в некотором замкнутом пространстве, следует учитывать условия, учитывающие возможности возникновения колебаний на его границах. Чаще всего это невозможность осуществления колебаний на границе. Как, например ограничение неподвижными стенками объема, в котором распространяется звуковая волна. Или закрепленные концы струны музыкального инструмента. Если границы стоячей волны заданы координатами и, то должны выполняться условияи.

Из первого условия следует, что , а значит

. Тогда второе условие превращается в равенство и

,

где n – целое число.

Исходя из того, что волновое число k связано с длиной волны λ, полученный результат означает, что на длине l должно укладываться целое число полуволн:

.

Рис. 30 Стоячие волны

Это означает, что в указанных выше условиях устанавливаются колебания определенных частот ν_n:

.

Такой дискретный набор частот наблюдается при колебаниях струны какого-либо музыкального инструмента. И такому же условию подчиняются звуковые колебания в замкнутом объеме. То есть размеры объема создают благоприятные условия для установления колебаний определенных частот. Поэтому ограниченное стенками пространство является резонатором для звуковых волн. Резонатором является корпус какого-либо музыкального инструмента. В качестве резонатора может проявить себя любое помещение. Только частоты в каждом случае будут разные.

Звук. Основные характеристики.

Ощущения звука вызывают колебания, частота которых находится в диапазоне от 20 Гц до 20 кГц. В соответствие с этим упругие волны в данном диапазоне частот называются звуковыми волнами или просто звуком. Звук может быть громким и тихим, высоким и низким. Кроме того, звук имеет определенную окраску - тембр. Этим субъективным характеристикам воспринимаемого звука соответствуют вполне определенные физические характеристики.

Громкость это субъективная оценка интенсивности (среднего значения плотности потока энергии) звуковой волны. При введении количественной оценки уровня громкости необходимо учесть, что человек способен воспринимать в качестве звука упругие волны в очень широком интервале интенсивностей. От порога слышимости, когда интенсивность близка к до, при которой волна вызывает болевые ощущения и как звук не воспринимается. Поэтому шкала громкости имеет логарифмический характер. Уровень громкостиL равен логарифму от отношения интенсивности звука I к интенсивности порога слышимости I₀:

.

Единицы, в которых определяется уровень громкости, сосчитанный по этой формуле, называются белами. На практике чаще применяются единицы в десять раз меньшие – децибелы. Уровень громкости в децибелах считается по формуле:

.

Каждый звук содержит в себе колебания с различными частотами. Набор частот называется акустическим спектром. Если спектр сплошной, то есть в нем присутствует непрерывный набор частот, то соответствующий ему звук называется шумом. Если набор частот дискретный (спектр линейчатый), то такой звук называется тональным. Высота тонального звука определяется наименьшей частотой из имеющегося спектра.

Волны в воздухе и в упругой среде могут иметь частоты большие или меньшие звукового диапазона. Если частота волн больше 20 кГц, то они называются ультразвуком. Если меньше 20 Гц – инфразвуком. По своей природе они ничем не отличаются от звуковых волн. Но у них есть некоторые особенности.

Ультразвуковые волны из-за того, что они имеют короткую длину волны легче собрать в направленный пучок. Это позволяет использовать ультразвук для локации. Этим пользуются представители животного мира: летучие мыши, дельфины. Ультразвуковые локаторы нашли широкое применение для обнаружения айсбергов, косяков рыбы и подводных лодок.

Инфразвук не воспринимается на слух, но он может воздействовать на нервную систему. Так инфразвуковая волна, сопутствующая раскатам грома во время грозы может возбудить у человека чувство страха.

Тембр (или иначе говоря, окраска звука) связан с тем, что любой реальный звук представляет собой набор частот. Причем соотношение амплитуд колебаний различных частот в каждом отдельном звуке тоже свое, особенное. И этот набор будет разный, даже если речь идет о звучании какой-то определенной ноты. Поэтому мы на слух отличаем звучание рояля и скрипки. Человеческая речь имеет настолько широкий диапазон различных комбинаций частот и амплитуд, что мы узнаем человека по голосу. Если проанализировать акустический спектр речи отдельно взятого человека с учетом имеющихся частот и амплитуд, то окажется, что у каждого человека спектр настолько индивидуален, что может служить признаком идентификации личности, подобно отпечатку пальцев.

Эффект Доплера для звуковой волны.

Поскольку звуковые волны распространяются в среде, то частота колебаний ν, воспринимаемых приемником, может отличаться от частоты сигнала ν₀, испускаемого источником, если источник или приемник двигаются относительно среды. Это явление называется эффектом Доплера.

Если источник и приемник неподвижны, количество колебаний фиксируемых за одну секунду приемником равно частоте колебаний источника, которая связана с длиной волны λ₀ и ее скоростью υ_зв:

.

Если приемник движется навстречу волне со скоростью υ_пр:, то за одну секунду он к этому количеству приплюсует еще колебаний и воспринимаемая частота ν΄ окажется равной

.

В свою очередь, влияние движения источника со скоростью υ_ист можно учесть следующим образом. За период Т волна пройдет расстояние равное длине волны λ_0:

.

За это же время источник переместится на расстояние и одинаковые фазы колебаний будут находится на расстоянии

,

что изменит длину волны излучаемого сигнала. И частота принимаемого сигнала будет равна:

.

Учитывая, что ,получим формулу, которая описывает эффект Доплера

.

. При использовании этой формулы следует учитывать, что она получена для случая, когда источник и приемник двигаются навстречу друг другу. Если движение одного из объектов противоположное, то надо изменить знак перед соответствующей скоростью.

Тесты

1-1. Кинематика (радиус-вектор).