Графическое представление вариационного ряда

Графическое представление результатов измерений выражается в построении трех графиков: полигона частот (см. рис. 1), гистограммы (рис. 2) и полигона накопленных частот (кривой сумм или кумуляты) (рис. 4). Полигон частот и гистограмма показывают распределение измеряемых показателей и их сгруппированность вокруг среднего значения.

Для построения полигона частот в декартовых координатах по оси абсцисс отложим срединные значения интервалов из таблицы 7, а по оси ординат – соответствующие им частоты (или частости). Для приведённого примера полигон распределения изображён на рис. 11.

Рис 11. Полигон частот результатов

Для построения гистограммы по оси абсцисс отложим границы интервалов и на них восстановим прямоугольники до уровня частот, соответствующих интервалам, отложенных по оси ординат (рис. 12).

Рис 12. Гистограмма распределения результатов

Если нанести на гистограмму пунктирной линией полигон распределения частот, то мы получим первоначальное представление о дифференциальной функции распределения.

Как уже говорилось выше, гистограмма является экспериментальным аналогом плотности распределения вероятностей.

Площадь гистограммы равна сумме всех частот, т. е. объёму выборки (18), или сумме частостей, т. е. единице.

Рис 13. Полигон накопленных частот результатов

Для построения полигона накопленных частот (кривой сумм или кумуляты) по оси ординат отложим верхние границы интервалов, а по оси абсцисс – соответствующие им накопленные частоты (рис. 13).

Полигон накопленных частот результатов является экспериментальным аналогомфункции распределения.

Далее проведём расчёт основных статистических показателей ряда измерений, он сводится к расчёту характеристик положения, характеристик рассеяния результатов измерений и характеристик формы распределения. Причём приведём методику расчёта с помощью формул для данных сгруппированных в интервалы.

Аналитический анализ.

Характеристики положения:

• среднее арифметическое значение (среднее значение)

,

где n- объем выборки,

k – число интервалов группировки,

n_i – частоты интервалов,

x_i – срединные значения интервалов.

• Мода

где - нижняя граница модального интервала.

В нашем примере модальным является третий интервал (таблица 7), т.к. модальным называется интервал группировки с наибольшей частотой. Тогда нижняя граница модального интервала 6,34.

- ширина интервала группи­ровки,

- частота модального интервала, т.е. частота третьего интервала 6,

- частота интервала, предшествую­щего модальному, т.е. частота второго интервала 4,

- частота интервала, последующего за модаль­ным, т.е. частота четвёртого интервала 4.

• Медиана

.

где - нижняя граница медианного интервала.

В нашем примере медианным является третий интервал, т.к. медианным называется тот интервал, в котором накопленная частота впервые окажется больше половины объёма выборки (n/2) или накопленная частость окажется больше 0,5.

Половина объёма выборки 18/2=9, именно в третьем интервале накопленная частота впервые оказалась больше 9, т.е. 12, а накопленная частость 12/18=0,7 (больше 0,5).

–ширина интервала группи­ровки,

0,5n – половина объёма выборки (9),

–частота медианного интервала (6),

–накопленная частота интервала, предшествующего медианному (6).

Характеристики рассеяния результатов измерений:

• Размах вариации:

R = X_max - X_min = 6,83 – 6,00 = 0,83.

• Дисперсия.

Для данных, сгруппированных в интервалы, дисперсия определяется по формуле:

где х_i – среднее значение i интервала группировки,

n_i – частоты интервалов.

• Среднеквадратическое отклонение (стандартное отклонение)

Для данных, сгруппированных в интервалы, стандартное отклонение определяется по формуле:

,

• Ошибка средней арифметической (ошибка средней)

.

• Коэффициент вариации

.

Вывод: так как коэффициент вариации не превышает 10 % (V<10 %), то выборка считается однородной.

Характеристики формы распределения:

• Мера скошенности

.

Равенство нулю меры скошенности свидетельствует о том, что имеет место симметричное распределение. Действительно, как видно из предыдущих расчётов Мо = Ме = . Это характерно для нормального распределения.

• Эксцесс для сгруппированных данных:

,

где n_i - частоты интервалов группировки;

х _i - срединное значение интервала группировки;

σ - среднеквадратическое отклонение.

Знак эксцесса отрицательный, следовательно, у рассматриваемого эмпирического распределения наблюдается тенденция к плосковершинности.