Расчёт коэффициентов уравнений линейной регрессии

Как уже было сказано выше, в случае линейной зависимости уравнение регрессии является уравнением прямой линии.

Различают

У = а_у/х +b_у/хХ - прямое уравнение регрессии;

Х = а_х/у+b_х/у Y - обратное уравнение регрессии.

Здесь а и b – коэффициенты, или параметры, которые определяются по формулам. Значение коэффициента b вычисляется

Из формул видно, что коэффициенты регрессии b_у/х и b_х/у имеют тот же знак, что и коэффициент корреляции, размерность, равную отношению размерностей изучаемых показателей Х и У, и связаны соотношением:

Для вычисления коэффициента а достаточно подставить в уравнения регрессии средние значения коррелируемых переменных

График теоретических линий регрессии (рис. 17) имеет вид:

Рис 17. Теоретические линии регрессии

Из приведённых выше формул легко доказать, что угловые коэффициенты прямых регрессии равны соответственно

Так как, то. Это означает, что прямая регрессииY на Х имеет меньший наклон к оси абсцисс, чем прямая регрессии Х на Y.

Чем ближе к единице, тем меньше угол между прямыми регрессии. Эти прямые сливаются только тогда, когда.

При прямые регрессии описываются уравнениями,.

Таким образом, уравнения регрессии позволяют:

• определить, насколько изменяется одна величина относительно другой;

• прогнозировать результаты.

2. Методика выполнения расчётно-графической работы №2

Расчётно-графическая работа содержит 4 раздела.

В первом разделе:

3. Формулируется тема;

4. Формулируется цель работы.

Во втором разделе:

3. Формулируется условие задачи;

4. Заполняется таблица исходных данных выборки.

В третьем разделе:

4. Результаты измерений представляются в виде вариационного ряда;

5. Даётся графическое представление вариационного ряда.

6. Формулируется вывод.

В четвёртом разделе:

3. Рассчитываются основные статистические характеристики ряда измерений;

4. По итогам расчётов формулируется вывод.

Оформление работы:

3. Работа выполняется в отдельной тетради или на форматных листах.

4. Титульный лист заполняется по образцу.

Российский Государственный Университет

физической культуры, спорта, молодёжи и туризма

Кафедра естественнонаучных дисциплин

Корреляционный и регрессионный анализы

Расчётно-графическая работа №2

по курсу математики

Выполнил: студент 1 к. 1 пот. 1гр.

Иванов С.М.

Преподаватель :

доц. кафедры ЕНД и ИТ

(Ф.И.О.)

Москва – 2012

(Пример оформления титульного листа)

Пример выполнения расчётно-графической работы №2.

Тема работы: Корреляционный и регрессионный анализы.

Цель работы: Определить взаимосвязь показателей двух выборок.

Ход выполнения работы:

1. Придумать две выборки из своего вида спорта с одинаковым объемом n.

2. Нарисовать корреляционное поле, сделать предварительный вывод.

3. Рассчитать коэффициент корреляции Бравэ-Пирсона и сделать вывод.

4. Определить достоверность коэффициента корреляции и сделать окончательный вывод.

5. Рассчитать коэффициент детерминации и сделать вывод о степени взаимосвязи показателей двух выборок.

6. Рассчитать коэффициенты прямого и обратного уравнений регрессии.

7. Построить теоретические линии регрессии на корреляционном поле и показать точку их пересечения.

1. Условие задачи: У группы спортсменов определяли результаты в беге на 100 м с барьерами X_i (с) и прыжках в длину Y_i (м) (табл.). Проверить, существует ли корреляционная связь между исследуемыми признаками и определить достоверность коэффициента корреляции.

Таблица исходных данных выборки: Результаты приведены в таблице исходных данных.

Таблица 6

Результаты бега и прыжка

№ п/п	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Xi, с	13,68	13,34	13,75	13,51	13,53	13,7	13,45	13,72	13,61
Yi, м	6,35	6,83	6,25	6,38	6,42	6,35	6,51	6,06	6,22
№ п/п	10	11	12	13	14	15	16	17	18
Xi, с	13,84	13,91	13,46	13,5	13,6	13,35	13,42	13,8	13,5
Yi, м	6,20	6,00	6,50	6,65	6,55	6,75	6,60	6,18	6,55

Решение:

2. Построим корреляционное поле (диаграмму рассеяния) и сделаем предварительный вывод относительно связи между исследуемыми признаками.

Рис 18. Корреляционное поле

Предварительный вывод:

Связь между показателями результатов в беге на 100 м с барьерами X_i (с) и прыжками в длину Y_i (см):

• линейная;

• отрицательная;

• сильная.

3. Рассчитаем парный линейный коэффициент корреляции Бравэ – Пирсона, предварительно рассчитав основные статистические показатели двух выборок. Для их расчёта составим таблицу, в которой предпоследний и последний столбцы необходимы для расчёта стандартных отклонений, если они неизвестны. Для нашего примера эти значения рассчитаны в первой расчётно-графической работе, но для наглядности покажем расчёт дополнительно.

Таблица 7

Вспомогательная таблица для расчета коэффициента

корреляции Бравэ – Пирсона

№	Xi, с	Yi, см
1	13,68	6,35	0,09	-0,06	-0,005	0,0081	0,0036
2	13,34	6,83	-0,25	0,42	-0,105	0,0625	0,18
3	13,75	6,25	0,16	-0,16	-0,03	0,0256	0,0256
4	13,51	6,38	-0,08	-0,03	0,0024	0,0064	0,0009
5	13,53	6,42	-0,06	0,01	-0,0006	0,0036	0,0001
6	13,7	6,35	0,11	-0,06	-0,0066	0,0121	0,0036
7	13,45	6,51	-0,14	0,1	-0,014	0,0196	0,01
8	13,72	6,06	0,13	-0,35	-0,0455	0,0169	0,1225
9	13,61	6,22	0,02	-0,19	-0,004	0,0004	0,0361
10	13,84	6,20	0,25	-0,21	-0,0525	0,0625	0,0441
11	13,91	6,00	0,32	-0,41	-0,1312	0,1024	0,1681
12	13,46	6,50	-0,13	0,09	-0,0117	0,0169	0,0081
13	13,5	6,65	-0,09	0,24	-0,0216	0,0081	0,0576
14	13,6	6,55	0,01	0,14	0,0014	0,0001	0,0196
15	13,35	6,75	-0,24	0,34	-0,0816	0,0576	0,1156
16	13,42	6,60	-0,17	0,19	-0,0323	0,0289	0,0361
17	13,8	6,18	0,21	-0,23	-0,0483	0,0441	0,0529
18	13,5	6,55	-0,09	0,14	-0,0126	0,0081	0,0196
n=18	13,59	6,41			∑=-0,6015	∑=0,4839	∑=0,9041

_x =,

_y =,

.

Полученное значение коэффициента корреляции позволяет подтвердить предварительный вывод и сделать окончательное заключение – связь между исследуемыми признаками:

• линейная;

• отрицательная;

• сильная.

4. Определим достоверность коэффициента корреляции.

Предположим, что связь между результатом в беге на 100 м и прыжком в длину отсутствует (Н_о: r=0).

• .

• Находим = 2,12 дляα = 0,05 и  = n - 2 = 16.

• t_расчет > t_табл (19,6 > 2,12).

Вывод: существует сильная, отрицательная статистически достоверная (р=0,95) связь между бегом с препятствиями на дистанцию 100 м и прыжком в длину. Это означает, что с улучшением результата в прыжке в длину уменьшается время пробега дистанции 100 м.

5. Вычислим коэффициент детерминации:

.

Следовательно, только 96% взаимосвязи результатов в беге на 100 м с барьерами и в прыжке в длину объясняется их взаимовлиянием, а остальная часть, т. е. 4% объясняется влиянием других неучтённых факторов.

6. Рассчитаем коэффициенты прямого и обратного уравнений регрессии, воспользовавшись формулами, подставим значения рассчитанных коэффициентов в соответствующую формулу и запишем прямое и обратное уравнения регрессии:

Y = а₁ + b₁Х - прямое уравнение регрессии;

Х = а₂ + b₂ Y - обратное уравнение регрессии.

Воспользуемся результатами расчёта, приведёнными выше:

_x =;_y =;;13,59; 6,4,

Рассчитаем коэффициент b₁, воспользовавшись формулой:

Для расчета коэффициента а₁ подставим в прямое уравнение регрессии вместо b₁ рассчитанное значение, а вместо Х и Y средние арифметические значения двух выборок из таблицы:

Подставим полученные значения коэффициентов а₁ и b₁ в прямое уравнение регрессии и запишем уравнение прямой линии:

Y = 22 - 1,15Х

Рассчитаем коэффициент b₂, воспользовавшись формулой:

Для расчета коэффициента а₂ подставим в прямое уравнение регрессии вместо b₂ рассчитанное значение, а вместо Х и Y средние арифметические значения двух выборок из таблицы:

Подставим полученные значения коэффициентов а₁ и b₁ в прямое уравнение регрессии и запишем уравнение прямой линии:

Х = 18,92 - 0,83Y

Таким образом, мы получили прямое и обратное уравнения регрессии:

Y = 22 - 1,15Х - прямое уравнение регрессии;

Х = 18,92 - 0,83Y - обратное уравнение регрессии.

Для проверки правильности расчётов достаточно подставить в прямое уравнение среднее значение и определить значениеY. Полученное значение Y должно быть близким или равным среднему значению .

Y = 22 - 1,15 = 22 - 1,1513,59 = 6,4 =.

При подстановке в обратное уравнение регрессии среднего значения , полученное значение Х должно быть близким или равным среднему значению .

Х = 18,92 - 0,83= 18,92 - 0,83 6,4 = 13,6 = .

7. Построим линии регрессии на корреляционном поле.

Для графического построения теоретических линий регрессии, как и для построения любой прямой, необходимо иметь две точки из диапазона значений Х и Y.

Причём, в прямом уравнении регрессии независимая переменная Х, а зависимая Y, а в обратном – независимая переменная Y, а зависимая Х.

Y = 22 - 1,15Х

X	13,42	13,8
Y	6,57	6,13

Х = 18,92 - 0,83Y

Y	6,2	6,6
X	13,77	13,44

Координатами точки пересечения линий прямого и обратного уравнений регрессии являются значения средних арифметических двух выборок (с учётом погрешностей округлений при приближённых расчётах).

Вывод: зная результат бега с препятствиями на дистанцию 100 м, по прямому уравнению регрессии, можно теоретически определить результат прыжка в длину; и наоборот, зная результат прыжка в длину по обратному уравнению регрессии, можно определить результат бега с препятствиями.