1.3 Экспоненциальный закон распределения наработки до отказа объектов.

Третий закон распределения отказов – экспоненциальный. Подчиняется выражению:

(1.34)

Исходные данные:

Таблица 7. – Статистический материал.

33	92	194	39	596
134	195	41	611	26
160	302	521	709	152
21	423	12	45	10
330	556	780	178	235
450	656	64	121	358
579	74	121	252	471
612	84	153	335	580
89	112	378	570	110
285	56	145	256	20
15	130	294	505	695
15	295	508	701	143
202	421	622	34	188
310	535	256	187	220
440	642	52	100	325
560	705	180	238	460
671	71	149	352	584
757	115	234	472	625
110	279	466	22	115
384	14	141	380	239

По данным таблицы 7 находим максимальное значение – 780 000 км, округляем максимальное значение до 800 000 км, число интервалов kпринимаем за 10 и находим ширину интервала в натуральных единицах измерения:

Δl= максимальное значение/k; (1.35)

Δl= 800 000/10 = 80000 км.

Производим разбиение исходных данных на интервалы с шириной интервала

Δl= 80000 км и k = 10.

Начальный статический момент рассчитывается по формуле (1.14):

,

Математическое ожидание для данного закона рассчитываем по формуле (1.6):

,

Найдем математическое ожидание:

Далее переходим к натуральным величинам по формуле (1.8):

.

Получаем:

.

По данным таблицы 8 строим график экспоненциального закона (рисунок 7).

Далее выводим формулу экспоненциального закона для нашего случая.

Параметр рассчитываем по формуле:

. (1.36)

Получаем:

.

Формула экспоненциального закона для нашего случая:

.

Рассчитываем значения функции для заданных интервалов, результаты расчета сводим в таблицу 8. По данным таблицы строим характеристику, полученную аналитическим путем (рисунок 7).

Доверительный интервал для экспоненциального закона находим по выражениям:

, (1.37)

. (1.38)

где ,- коэффициенты, которые принимаем равными 1,19 и 0,89, соответственно.

Рисунок 8. – Графики экспоненциального теоретического и эмпирического распределения наработки до отказа.

Аргумент функции Лапласа для экспоненциального закона находим по формуле:

. (1.39)

Для 1-го интервала .

Значения функции Лапласа рассчитываем по формуле:

, (1.40)

. (1.41)

Для 1-го интервала получаем:

,

.

Результаты расчета для остальных интервалов представлены в табл. 9.

Правильность расчетов проверяем по величине .

Суммарное значение критерия согласия будет равно: .

Табличное значение критерия согласия находим из условия .

Получаем: , где.

По таблице 9 видно, что расчетный коэффициент согласия больше табличного, значит наши расчеты, неверны: ,.

Параметрический метод:

Вероятность безотказной работы определяем по формуле:

, (1.42)

где .

Средняя наработка рассчитывается по формуле:

. (1.43)

Непараметрический метод:

Расчет производится по формулам (1.19) – (1.21), аналогично нормальному закону.

Результаты расчета сводим в таблицу 10. По данным таблицы 10 строим характеристики (рисунок 9,10).

Таблица 10. - Результаты расчета параметрическим и непараметрическим методами.

l, 103 км	t	Параметрически		Непараметрически
		P(l)	λ(l)	P(l)	λ(l)
0	0	1	0,00000303	1	0,000003
80000	-0,243	0,7845		0,82	0,000003
160000	-0,485	0,6154		0,66	0,000002
240000	-0,728	0,4828		0,54	0,000002
320000	-0,971	0,3788		0,44	0,000002
400000	-1,214	0,2971		0,36	0,000002
480000	-1,456	0,2331		0,3	0,000002
560000	-1,699	0,1829		0,25	0,000004
640000	-1,942	0,1435		0,17	0,000007
720000	-2,184	0,1125		0,08	0,000013
800000	-2,427	0,0883		0	0

Рисунок 9.

Рисунок 10.

Ряд 1. – параметрическая зависимость;

Ряд 2. – непараметрическая зависимость.

Область наихудшей сходимости для вероятности безотказной работы (720000 – 800000):

.

Интервал наихудшей сходимости для интенсивности отказов (6400000 –720000):

Область наилучшей сходимости для вероятности безотказной работы (0 – 40000):

.

Интервал наилучшей сходимости для интенсивности отказов (480000–560000):

№ интер-вала j	Δl,103 км	lj, 103км				Начальный статический момент	Аргумент функции Лапласа		Значение функции Лапласа		Pj	nPj	χ2j	f(l) Δl
						ν1xj	tн	tк	Ф(tн)	Ф(tк)
1	0-80	40	-4	18	0,18	-0,72	0	-0,24272	1	0,78449	0,2155	21,551	0,59	0,19
2	80-160	120	-3	16	0,16	-0,48	-0,24272	-0,48544	0,78449	0,61543	0,1691	16,906	0,05	0,15
3	160-240	200	-2	12	0,12	-0,24	-0,48544	-0,72816	0,61543	0,48280	0,1326	13,263	0,12	0,12
4	240-320	280	-1	10	0,1	-0,1	-0,72816	-0,97087	0,48280	0,37875	0,1040	10,405	0,02	0,09
5	320-400	360	0	8	0,08	0	-0,97087	-1,21359	0,37875	0,29713	0,0816	8,162	0,00	0,07
6	400-480	440	1	6	0,06	0,06	-1,21359	-1,45631	0,29713	0,23309	0,0640	6,403	0,03	0,06
7	480-560	520	2	5	0,05	0,1	-1,45631	-1,69903	0,23309	0,18286	0,0502	5,023	0,00	0,05
8	560-640	600	3	8	0,08	0,24	-1,69903	-1,94175	0,18286	0,14345	0,0394	3,941	4,18	0,04
9	640-720	680	4	9	0,09	0,36	-1,94175	-2,18447	0,14345	0,11254	0,0309	3,092	11,29	0,03
10	720-800	760	5	8	0,08	0,4	-2,18447	-2,42718	0,11254	0,08829	0,0243	2,425	12,81	0,02
Σ				100	1	-0,38							29,09

Таблица 9. – Определение закона распределения наработки до отказа.