1.2 Гамма - распределения наработки до отказа объектов.

Наряду с нормальным законом распределения отказов на практике имеют место отказы, подчиняющиеся гамма – распределению. Данный закон имеет вид:

(1.23)

Исходные данные:

Таблица 4. – Статистический материал.

166	623	695	509	261
643	463	45	402	17
392	422	616	492	586
565	245	218	685	552
393	502	121	65	81
160	565	134	91	263
575	592	22	88	137
296	258	277	217	504
147	583	208	170	120
282	235	188	290	531
291	476	185	460	469
492	387	408	444	378
149	402	255	482	447
128	309	380	200	315
167	126	103	352	415
186	450	164	314	107
394	365	268	316	222
102	317	341	368	327
364	376	313	396	216
193	275	223	242	230

Расчет будем вносить в таблицу 5. По данным таблицы 4 находим максимальное значение – 700 000 км, округляем максимальное значение до 695 000 км, число интервалов kпринимаем за 10 и находим ширину интервала в натуральных единицах измерения:

Δl= максимальное значение/k; (1.24)

Δl= 700 000/10 = 70 000 км.

Производим разбиение исходных данных на интервалы с шириной интервала

Δl= 70 000 км и k = 10.

Рассчитываем по формуле (1.4) и (1.5):

,

.

Математическое ожидание и дисперсия для данного закона рассчитываются по формулам (1.6), (1.7):

,

.

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

Далее переходим к натуральным величинам по формулам (1.8) ,(1.9)и (1.25):

,

. (1.25)

Получаем:

.

Далее необходимо найти параметры закона, входящие в уравнение для чего необходимо решить систему уравнений (1.26):

(1.26)

Систему уравнений решаем методом деления, в результате получаем:

Принимаем тогда величинаопределится по формуле:

(1.27)

Получаем:.

Записываем формулу гамма - распределения для нашего случая:

(1.28)

Находим значения функции для рассматриваемых интервалов для построения вида гамма – распределения. Расчет производится аналогично, что и в 1.1, результаты расчета сведены в таблицу 5.

Доверительный интервал рассчитывается по формуле:

(1.29)

где .

Рисунок 4. –Теоретическое и эмпирическое гамм - распределения наработки до отказа.

Аргумент функции для гамма – распределения рассчитываем по формуле:

(1.30)

Значения функции для гамма - распределения находим по таблице-приложении П. 29, значения заносим в таблицу 5.

Правильность расчетов проверяем по величине (1.14):

.

Табличное значение критерия согласия находим из условия .

Получаем: , где

По таблице 5 видно, что расчетный коэффициент согласия больше табличного, значит наши расчеты, неверны: ,.

Параметрический метод:

Вероятность безотказной работы определяем по формуле:

, (1.31)

где - значения функции для гамма – распределения по таблице П. 2.9.

Интенсивность отказов рассчитываем по выражению:

, (1.32)

где - значения функции для гамма – распределения по таблице П. 2.8.

Средняя наработка рассчитывается по формуле

(1.33)

Непараметрический метод:

Расчет производится по формулам (1.19) – (1.21), аналогично нормальному закону.

Результаты расчета сводим в таблицу 6. По данным таблицы 6 строим характеристики (рисунок 5,6).

Таблица 6. - Результаты расчета параметрическим и непараметрическим методами.

l, 103 км	t	Параметрически			Непараметрически
		P(l)	λ0(l)	λ(l)	P(l)	λ(l)
0	0	1	0,04273	9,897E-07	1	5,882E-07
70000	1,62134	0,953	0,0754	1,746E-06	0,96	1,838E-06
140000	3,24268	0,783	0,165	3,822E-06	0,84	2,276E-06
210000	4,86402	0,57	0,2225	5,154E-06	0,71	3,314E-06
280000	6,48536	0,38	0,265	6,138E-06	0,55	3,209E-06
350000	8,1067	0,238	0,308	7,134E-06	0,43	5,472E-06
420000	9,72804	0,143	0,331	7,667E-06	0,27	4,902E-06
490000	11,34938	0,0935	0,3485	8,072E-06	0,18	5,719E-06
560000	12,97072	0,0458	0,369	8,547E-06	0,11	9,358E-06
630000	14,59206	0,0296	0,378	8,755E-06	0,04	1,471E-05
700000	16,2134	0,0138	0,389	9,010E-06	0	0

Рисунок 5.

Рисунок 6.

Ряд 1. – параметрическая зависимость;

Ряд 2. – непараметрическая зависимость.

Область наихудшей сходимости для вероятности безотказной работы (280000 –350000):

.

Интервал наихудшей сходимости для интенсивности отказов (560000–630000):

Область наилучшей сходимости для вероятности безотказной работы (630000 – 700000):

.

Интервал наилучшей сходимости для интенсивности отказов (490000–540000):

Таблица 5. – Определение закона распределения наработки до отказа.

№ интер-вала j	Δl, 103 км	lj, 103км				Начальный статический момент		Аргумент функции для гамма - распределения		Значение функции для гамма- распределения		Pj	nPj	χ2j	f(l) Δl
						ν1xj	ν2xj	tн	tк	Р(tн)	Р(tк)
1	0 – 70	35	-4	4	0,04	-0,16	0,64	0	1,62134	1	0,953	0,047	4,7	0,10	0,04
2	70 – 140	105	-3	12	0,12	-0,36	1,08	1,62134	3,24268	0,953	0,783	0,17	17	1,47	0,18
3	140 – 210	175	-2	13	0,13	-0,26	0,52	3,24268	4,86402	0,783	0,38	0,403	40,3	18,49	0,22
4	210 – 280	245	-1	16	0,16	-0,16	0,16	4,86402	6,48536	0,38	0,38	0	0	0,00	0,19
5	280 – 350	315	0	12	0,12	0	0	6,48536	8,1067	0,38	0,238	0,142	14,2	0,34	0,14
6	350 – 420	385	1	16	0,16	0,16	0,16	8,1067	9,72804	0,238	0,0404	0,1976	19,76	0,72	0,09
7	420 – 490	455	2	9	0,09	0,18	0,36	9,72804	11,34938	0,0404	0,0174	0,023	2,3	19,52	0,06
8	490 – 560	525	3	7	0,07	0,21	0,63	11,34938	12,97072	0,0174	0,0273	0,0099	0,99	36,48	0,03
9	560 – 630	595	4	7	0,07	0,28	1,12	12,97072	14,59206	0,0273	0,02516	0,00214	0,214	215,19	0,02
10	630 - 700	665	5	4	0,04	0,2	1	14,59206	16,2134	0,02516	0,02302	0,00214	0,214	66,98	0,01
Σ				100	1	0,09	5,67							359,29