1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВИДА И ФОРМУЛЫ ЗАКОНА

РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАРАБОТКИ ДО ОТКАЗА

1.1. Нормальный закон распределения наработки до отказа объектов.

Для определения вида закона распределения и для расчета оценок и параметров на основе данных об отказах в данной работе применяется метод моментов.

Исходные данные:

Таблица 1. – Статистический материал.

314	778	610	770	34
126	535	416	63	301
683	465	127	619	458
142	69	181	101	627
693	256	544	700	418
123	357	791	297	630
299	646	322	421	468
514	760	350	752	516
218	300	277	379	135
626	658	311	465	512
550	294	327	672	398
330	351	635	282	394
635	222	376	295	688
471	190	335	383	548
223	610	379	197	154
290	537	413	226	450
539	485	348	215	567
581	452	205	471	459
240	374	565	479	450
537	540	299	543	289

По данным таблицы 1 находим максимальное значение – 778 000 км, округляем максимальное значение до 800 000 км, число интервалов kпринимаем за 10 и находим ширину интервала в натуральных единицах измерения:

Δl= максимальное значение/k; (1.1)

Δl= 800 000/10 = 80000 км.

Производим разбиение исходных данных на интервалы с шириной интервала

Δl= 80000 км и k = 10.

Разложив в порядке возрастания наработки до отказа n объектов, получаем вариационный ряд, затем подсчитываем число случаевm_jпопадания пробега до отказа в каждыйj– й интервал. Для обработки больших массивов данных высокого порядка целесообразно провести кодирование измерения пробега условной единицей, связанной с натуральным показателем уравнением (ключом):

(1.2)

где l_j– значение пробега для серединыj– го интервала;

Δl – ширина интервала в натуральных единицах измерения наработки;

x_j– условная единица измерения пробега.

Частота отказов (частость) в j– м интервале пробега определяется по формуле:

(1.3)

где m_j – число попаданий значения пробега до отказа в j– й интервал;

n– общее число объектов.

Начальные статические моменты рассчитываются по формулам:

, (1.4)

. (1.5)

Математическое ожидание и дисперсию можно связать с начальными статистическими моментами по формулам:

, (1.6)

. (1.7)

Найдем математическое ожидание и дисперсию:

m_x= 0,6

ν_2xj =5,56

Далее переходим к натуральным величинам по формулам:

, (1.8)

. (1.9)

m_l= 360 000 + 0,6 · 80 000 = 408 000 км

σ_l= 2,3 · 80 000 = 182 428 км

Нормальный закон (1.10)

Исходя из выше записанных данных нормальный закон распределения для данного статистического материала выглядит так:

Для нормального закона определяем доверительный интервал по формуле:

, (1.11)

где ,- коэффициент значимости (принимаем равным 0,05)

=100-1=99.

Величина принимается для всех трех законов одинаковой.

В результате получаем интервал:

Наносим данный интервал на рисунок 1.

Аргумент функции Лапласа рассчитывается по формуле:

, (1.12)

где - соответственно начало и конец принятого интервала.

Для 1-го интервала получим:

для второго и последующих интервалов повторяем операцию.

Значения функции Лапласа находим по таблице-приложении П.2.5. Статистическую вероятность отказа объекта по нормальному закону определяем по выражению:

(1.13)

Для 1-го интервала получим:

• по таблице П.2.5: Ф(-2,236498) = -0,48713; Ф(-1,797969) =-0,46327.

• по формуле (1.13): Р₁= -0,46327- (-0,48713) = 0,0239;

• Р₁=0,0239· 100 =2,39.

остальные рассчитываются аналогично.

Полученные данные заносим в соответствующие колонки таблицы 2 и производим расчет для остальных интервалов.

Проверку правильности расчета и выбора закона распределения наработки до отказа производим по компонентам критерия согласия .

Требуется определить табличное и расчетноезначения. Если, то закон выбран, верно.

Расчетное значение критерия согласия рассчитываем по формуле:

, (1.14)

Повторяем расчет для интервалов и заносим в таблицу 2, находим затем сумму всех этих значений.

.

Табличное значение критерия согласия находим из условия:

, (1.15)

где ;

- степень свободы.

Степень свободы в данном случае можно принять как

, где- количество параметров в законе (для нормального закона=2).

Для нашего случая получим: ,

.

Закон выбран, верно, т.к. ,.

Рисунок 1. – Графики нормального теоретического и эмпирического распределения наработки до отказа.

Таблица 2. – Определение закона распределения наработки до отказа.

№ интер-вала j	Δl,103 км	lj, 103км				Начальный статический момент		Аргумент функции Лапласа		Значение функции Лапласа		Pj	nPj	χ2j	f(l) Δl
						ν1xj	ν2xj	tн	tк	Ф(tн)	Ф(tк)
1	0-80	40	-4	3	0,03	-0,12	0,48	-2,23650	-1,79797	-0,48713	-0,46327	0,0239	2,39	0,16	0,02
2	80-160	120	-3	7	0,07	-0,21	0,63	-1,79797	-1,35944	-0,46327	-0,41149	0,0518	5,18	0,64	0,05
3	160-240	200	-2	10	0,1	-0,2	0,4	-1,35944	-0,92091	-0,41149	-0,32121	0,0903	9,03	0,10	0,09
4	240-320	280	-1	13	0,13	-0,13	0,13	-0,92091	-0,48238	-0,32121	-0,18439	0,1368	13,68	0,03	0,14
5	320-400	360	0	15	0,15	0	0	-0,48238	-0,04385	-0,18439	-0,01595	0,1684	16,84	0,20	0,17
6	400-480	440	1	16	0,16	0,16	0,16	-0,04385	0,39468	-0,01595	0,11735	0,1333	13,33	0,53	0,17
7	480-560	520	2	14	0,14	0,28	0,56	0,39468	0,83321	0,11735	0,29673	0,1794	17,94	0,86	0,14
8	560-640	600	3	11	0,11	0,33	0,99	0,83321	1,27173	0,29673	0,39796	0,1012	10,12	0,08	0,10
9	640-720	680	4	6	0,06	0,24	0,96	1,27173	1,71026	0,39796	0,45637	0,0584	5,84	0,00	0,06
10	720-800	760	5	5	0,05	0,25	1,25	1,71026	2,14879	0,45637	0,48382	0,0275	2,75	1,85	0,03
Σ				100	1	0,6	5,56							4,47

На основании расчётов, выполненных в предыдущих подразделах, показатели надежности определяют двумя методами: параметрическим, когда параметры закона распределения известны, и непараметрическим – когда не известны.

Для нормального распределения вероятность безотказной работы до первого отказа параметрическиопределяют по формуле:

, (1.16)

где F(l)=Ф₀ (t)– функция нормального распределенияП.2.3и.

Интенсивность отказов при достижении наработки l:

, (1.17)

где φ₀(t)= φ₀(-t)- функция нормированного и центрированного распределенияП.2.4:

. (1.18)

Средняя наработка до отказа: .

При непараметрическом методеиспользуют статистические данные.

Вероятность безотказной работы P(l):

, (1.19)

где n(l)– число объектов, оставшихся исправными после наработкиl.

Средняя наработка до отказа:

, (1.20)

где - серединаj-го интервала наработки.

l_ср= 408000 км.

Интенсивность отказов:

, (1.21)

где - достаточно малый промежуток наработки. Рекомендуется принять равным интервалу наработки в табл. 1.

Относительная погрешность вычислений определяется соотношением:

,% (1.22)

где П_пиП_н– показатели, определенные параметрическим и не параметрическим методами соответственно.

Таблица 3. - Результаты расчета параметрическим и непараметрическим методами.

l,103 км	t	Параметрически				Непараметрически
		Ф0(t)	φ0(t)	P(l)	λ(l)	P(l)	λ(l)
0	-2,2365	0,987	0,0336	0,987	1,866E-07	1	3,75E-07
80000	-1,79797	0,9641	0,079	0,9641	4,492E-07	0,97	9,0206E-07
160000	-1,35944	0,9115	0,16	0,9115	9,622E-07	0,9	1,3889E-06
240000	-0,92091	0,8225	0,26	0,8225	1,733E-06	0,8	2,0313E-06
320000	-0,48238	0,683	0,3565	0,683	2,861E-06	0,67	2,7985E-06
400000	-0,04385	0,52	0,398	0,52	4,196E-06	0,52	3,8462E-06
480000	0,394676	0,655	0,368	0,345	5,847E-06	0,36	4,8611E-06
560000	0,833205	0,795	0,278	0,205	7,434E-06	0,22	0,00000625
640000	1,271735	0,8536	0,177	0,1464	6,627E-06	0,11	6,8182E-06
720000	1,710264	0,9554	0,0941	0,0446	1,157E-05	0,05	0,0000125
800000	2,148793	0,9842	0,0396	0,0158	1,374E-05	0	0

Рисунок 2.

Рисунок 3.

Ряд 1. – параметрическая зависимость;

Ряд 2. – непараметрическая зависимость.

Область наихудшей сходимости для вероятности безотказной работы (56480000 – 64560000):

.

Интервал наихудшей сходимости для интенсивности отказов (640000–720000):

Область наилучшей сходимости для вероятности безотказной работы (80000 - 160000):

.

Интервал наилучшей сходимости для интенсивности отказов (240000 - 320000):