4.3.4. Логарифмическая форма критерия Найквиста

Для проверки устойчивости замкнутой системы можно использовать логарифмические частотные характеристики разомкнутой, которые строятся почти без вычислений.

Формулировка критерия Найквиста. Для замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы на частотах, где ЛАЧХ положительна (то есть L() > 0), фазовая частотная характеристика разомкнутой системы не пересекала ось - или пересекала ее четное число раз.

Замкнутая система будет находиться на границе устойчивости, если на той же частоте, где , фазовая частотная характеристика разомкнутой системы пересекает ось - .

Риc. 4.18. Логарифмические частотные характеристики,

иллюстрирующие критерий Найквиста

4.4. Области и запасы устойчивости

4.4.1.Основные понятия и определения

Поскольку при составлении математической модели делается ряд допущений, то параметры реальной системы несколько отличаются от расчетных (номинальных). Кроме того, с течением времени они могут изменяться в некотором диапазоне, но при этом свойство устойчивости должно сохраняться. Поэтому для нормальной работы система должна обладать определенным запасом устойчивости.

Рассмотрим линейную стационарную систему общего вида

и соответствующее ей характеристическое уравнение

det(pI - A) = 0 ,

которое имеет n корней

Определение: областью устойчивости по параметрам будем называть множество матриц A, для которых выполняется общее условие устойчивости, Re (A) < 0 .

На практике обычно речь идет об изменении одного - двух параметров системы.

Рис. 4.19. Область устойчивости системы

Определение: критическими (граничными) будем называть такие значения матриц A, при которых система находится на границе устойчивости, Re (A) = 0 .

Определение: запасом устойчивости называется диапазон значений параметра от номинального до граничного.

4.4.2. Частотные оценки запаса

Частотные запасы устойчивости характеризуют, в соответствии с критерием Найквиста, удаление амплитудно - фазовой характеристики разомкнутой системы от критической точки с координатами {-1, j0}.

Запас устойчивости по амплитуде (h) показывает, насколько можно увеличить амплитуду без потери устойчивости системы.

Запас устойчивости по фазе () показывает, насколько можно изменить фазу системы без потери ею устойчивости.

Риc. 4.20. Определение запасов устойчивости по афх

Опытным путем установлено, что для нормальной работы система должна обладать следующими запасами устойчивости:

h = 50-80% , = 50-80% . (4.34)

Аналогичные запасы устойчивости можно определить и по логарифмическим характеристикам системы.

Здесь запас устойчивости по модулю обозначают как L и измеряют в децибеллах [дБ]. Он определяется на частоте, где фазовая частотная характеристика достигает значения -.

Запас устойчивости по фазе обозначают как , он определяется на частоте , где ,

(4.35)

Риc. 4.21. Определение запасов устойчивости

по логарифмическим характеристикам

Экспериментально установлено, что имея следующий запас устойчивости:

, (4.36)

система будет работать удовлетворительно.