Решене типового варианта контрольной работы № 8

Задание 5. Имеются два предприятия одной отрасли. При выделении каждому из них на один годх ден. ед. средств, первое предприятие обеспечивает доход в размере 3хед. и остаток этих средств (используемый в следующем году) в количестве 0,5хед. Второе предприятие обеспечивает доход в размере 4хед. и остаток средств в 0,2хед. Обоим предприятиям на три года выделено 900 ед. средств. Как их нужно распределить между предприятиями по годам, чтобы общий доход за три года был максимальным?

Задачу решим методом динамического программирования. Операцию управления производственным процессом разобьём на этапы. На каждом из них управление выберем так, чтобы оно приводило к выигрышу как на данном этапе, так и на всех последующих до конца операции. В этом состоит принцип оптимальности, сформулированный американским математиком А. Беллманом.

Разобьём весь период на три этапа по годам и будем нумеровать их начиная с первого.

Обозначим через x_k иy_kколичество средств выделяемых каждому предприятию наk-ом этапе, а черезx_k +y_k=а_k – общее количество средств на этом этапе. Тогда первое предприятие приносит на этом этапе 3 x_k, а второе 4 y_kединиц дохода. Общий доход наk-ом этапе 3x_k + 4y_k .

Обозначим через f_k(а_k) – максимальный доход, который получает отрасль от обоих предприятий наk-ом этапе и всех последующих. Тогда функциональное уравнение, отражающее принцип оптимальности Беллмана, принимает вид:

f_k(а_k)=max

Так как x_k +y_k=а_k, тоy_k=а_kx_kи 3x_k + 4y_k=3x_k + 4(а_kx_k)=x_k + 4а_k . Поэтому

f_k (а_k)=

0

Кроме того, – это средства выделяемые обоим предприятиям наk-ом этапе, и они определяются остатком средств, полученных на предыдущем (k–1)-ом этапе. Поэтому по условию задачи оптимальное управление на каждом этапе

1. Условная оптимизация

Планирование начинаем с последнего третьего этапа

1. При k = 3получаем из (2)

_{f3 (а3) =}

Так как четвёртого этапа нет, то f₄(а₄)=0и

f₃(а₃)=

(максимум выражения () будет при)).

Итак, для третьего последнего этапа имеем: f₃(а₃) = где, что следует из формулы (3).

2. При k = 2из (2) и (3) получаем:

f(а₂)=т.к. максимум выражения () будет при

То для второго этапа имеем: f ₂(а₂) ,,, при этомс учётом (3).

3. При k = 1с учётом (2) и (3) получаем:

при .

Итак, для первого этапа f ₁(а₁) ,,

Процесс закончен. На первом этапе общее количество распределяемых средств известно – = 900 ед. Тогда максимальный доход, получаемый обоими предприятиями за три года составитf ₁(а₁)=5,5∙900 = 4950 ден. ед.

2. Безусловная оптимизация

Выясним, каким должно быть оптимальное управление процессом выделения средств между первым и вторым предприятиями для получения максимального дохода в количестве 4950 ден. ед.

1-й год. Так каки, то все средства в количестве 900 ден. ед. отдаются первому предприятию.

2-й год. Выделяются средстваВсе они передаются первому предприятию.

3-й год. Выделяются средства. Все они передаются второму предприятию.

Результаты решения представим в виде табл. 20.

Таблица 20

Предприятие	1 год	2 год	3 год
I
II
Начальные средства 900 ден. ед.	Все начальные средства отдаются I предпр.	Все остаточные средства отдаются I-му	Все остаточные средства отдаются II-му

Задание 6. Определить оптимальные стратегии и цену игры, заданную платёжной матрицей

А=.

Первый игрок имеет две стратегии, определяемые строками матрицы А. Второй игрок имеет четыре стратеги, записанными в столбцах этой матрицы.

Рассмотрим стратегии первого игрока. В первой строке (стратегии) наименьший (наихудший) выигрыш равен 0, во второй строке наименьший (наихудший) выигрыш равен 2. Максимальное значение из всех наихудших выигрышей равно 2, т. е. оптимальной стратегией для первого игрока является вторая. Это значит, что как бы не играл второй игрок, первый получит гарантированно выигрыш 2, если он выберет вторую стратегию. Это так называемая нижняя цена игры, которую обозначим через α. Итак, α = 2.

Для второго игрока максимальные проигрыши равны 3, 2, 4, 5 по 1, 2, 3, 4 столбцам соответственно. Минимальный из них равен 2, что соответствует второму столбцу (второй стратегии). Это значит, что при любой стратегии первого игрока, второй игрок не проиграет больше 2, если он выберет вторую стратегию. Этот наименьший проигрыш называется верхней ценой игры и обозначается β. Итак, β = 2. Так как в нашем случае α = β = 2, то это общее значение 2 называется ценой игры и обозначается буквой υ, а соответствующий элемент а₂₂ = 2 называется седловой точкой. Так как она есть, то соответствующие стратегии являются оптимальными, υ = 2, игра называется игрой в чистых стратегиях и она закончена.

Выводы. Оптимальными стратегиями для первого и второго игроков являются вторые стратегии, матрица имеет седловую точку, цена игры υ = 2.

Задание 7. В качестве примера возьмём матрицу

Строки этой матрицы определяют стратегии акционерного общества (АО), столбцы – покупателей акций. Легко проверить, что седловой точки эта матрица не имеет и в чистых стратегиях задача не имеет решения. В этом случае каждый игрок будет применять свои чистые стратегии с какими – то вероятностями. Пусть это будут p₁ и p₂ (p₁ +p₂ =1) для АО и q₁ , q₂ , q₃ (q₁ + q₂ + q₃ = 1) для покупателей акций. Такая игра называется игрой в смешанных стратегиях.

При использовании покупателями первой игровой стратегии выигрыш АО будет 0,66p₁ +0,88p₂ , при второй стратегии он составит 1,32p₁ +0,52p₂ , при третьей – 1,42p₁ +0,32p₂ .

Так как , то выигрыши АО составят:

1. ,

2. ,

3. .

Целью АО является нахождение

Построим в системе координат соответствующие прямые (рис. 2):

Рис. 2

Область минимальных значений определяется многоугольником ОАВСД. Максимальное значениебудет в точке В, являющейся пересечением прямых (1) и (3). Она и определит оптимальные стратегии АО и цену игры. Найдем координаты точки В решая совместно уравнения прямых (1) и (3):

.

Тогда , а.

Таким образом стратегии АО будут оптимальными, если они будут применяться с вероятностями и. При этом оптимальный выигрыш составитед.